Ejercicios Resueltos De Relaciones

Universidad De Chile

Programa Apoyo Académico Otoño 2012 TUTORIAL 4

1_ Demostrar que la relación R : Z  Z / xRy 

x y  R es de equivalencia. 3

R es de equivalencia si: R es refleja,transitiva y simétrica.

xx  0Z 3 R transitiva: xRy  yRz  xRz
R refleja: x  Z  xRx 

3 3  x  y   y  z     Z 3   3 x  z   Z  xRz 3

x  y   Z  y  z   Z  xRz

Rsimétrica: xRy  yRx

x  y   Z  yRx

3 x  y   a  a  Z  3  a  Z  y  x   Z  yRx  x  y  Z  3 3
Por lo tanto, R es una relación de equivalencia. 2. En IR se define larelación R mediante: xRy  n  IN  x n  y . Demuestre que R es relación de orden. a) Reflexividad P.D. xRx x  IR





P.D. n  IN  x n  x





Lo cual es evidente con n  1 b)Antisimetría P.D. xRy  yRx   ( x  y) En efecto:

xRy  n1  IN  x n1  y
n2 2

 yRx  n  IN y

  x

(1) (2)

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De(1) y (2), x n1

 

n2

 x , o bien x n1n2  x . Entonces n1  n2  1 , de lo que se deduce

que n1  n2  1 ya que ambos números son naturales. Reemplazando estos valores en (1) o en(2), se obtiene x  y Q.E.D.

c)

Transitividad P.D. xRy  yRz   xRz En efecto:

xRy  n1  IN  x n1  y
n2 2

 yRz  n  IN y

  z

Hip (1) Hip (2)

P.D. xRz , es decir P.D.(n3  IN ) x n3  z Reemplazando (1) en (2): x n1

 





n2

 z , o bien x n1n2  z .

Luego basta tomar n3  n1  n2 Q.E.D.

3. Encuentre el(los) valor(es) de a para que S seaantisimétrica

xSy  2a  1x  3T 2a  1 y  3

S es antisimétrica xSy  ySx   ( x  y)

def

xSy  ySx   (2a  1)( x  3)T (2a  1)( y  3)  (2a  1)( y  3)T (2a  1)( x 3)
 (2a  1)( x  3)  (2a  1)( y  3) (hipótesis, T es antisimétrica)
 x  3  y  3 (sólo sí a  1 ) 2

x y
REPASO! RELACION REFLEXIVA Ejemplo: Sea A = {1, 5, 6} y la relación en A;...