ejercicios resueltos de Sumas de Riemann

Sumas de Riemann, Integral de Riemann
a) Calcular la suma de Riemann de un triángulo con vértices en (0,0), (1,1) y
(2,0) y ocho intervalos, con suma superior.
La recta que pasa por los primeros dospuntos es y1 (x) = x en [0,1].
La recta que pasa por los dos últimos puntos es y2 (x) = 2 − x en el intervalo
[1,2].
Dividimos el intervalo [0,2] en 80 subintervalos, entonces:
x=

2
80

=

1
40

yxi = 0 + ix.

En el primer intervalo, la función es creciente, por lo que en el extremo derecho
de cada sub-intervalo, la función es mayor que en el extremo izquierdo.
En el intervalo [1,2], en elextremo IZQUIERDO de cada sub-intervalo, la función
es mayor que en el extremo derecho, por tanto debemos dividir la suma total
en dos sumas parciales:
∑40

Suma de Riemann=

i=1

∑i=79
xi x+ i=40 xix.

Nos damos cuenta que la primera suma es:
∑i=40
i=1

1 1
(i 40
) 40 =

1
1600

∑i=40
i=1

i=

1 (40)(41)
1600
2

=

(41)
2(40) .

La segunda suma corresponde a la segunda área que es exactamente lamisma
suma que la que ya calculamos, que corresponde a los mismos rectángulos, nada
más que en sentido contrario, de grandes a chicos.
Por tanto la Suma de Riemann de todo el intervalo vale
41
1
22(40)
= 1 40
que es muy cercano a 1 que es el área correcta, ya que
´1
´2
2
2
A = 0 xdx + 1 (2 − x)dx = x2 ]10 + (2x − x2 )]21 =
1
2

+ (4 − 42 ) − (2 − 12 ) =

1
2

+4−2−2+

1
2

=1

b) Calcular laSuma Superior de Riemann de el triángulo con vértices (1,0),
(3,0) y (2,1), dividiendo el intervalo [1,3] en 80 sub-intervalos.
x=

3−1
80

=

2
80

=

1
40

La situación es muy semejante a la delinciso a), De hecho sabemos que los triángulos tienen la misma área y la misma suma. Vamos a conrmarlo, utilizando
el triángulo (2,0), (3,0) y (2,1).
La recta que pasa por (2,1) y (3,0) tiene pendientem =

1−0
2−3

= −1.

1
La recta será y = 3 − x. La xi = 2 + ix=2+i 40
y la suma Superior de Riemann,
tomando en cuenta que la función es decreciente será con los extremos izquierdos
1
.
de los...