Ejercicios resueltos probabilidad

Ejercicios Resueltos de Estadística: Tema 4: Probabilidades y Variables Aleatorias

1. Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05. Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes: 1. ¿cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas? 2. ¿y de que a lo sumo dos seencuentren defectuosas? 3. ¿cual es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa?

SOLUCIÓN: Sea δ i una variable aleatoria que representa el estado de una unidad terminada en la línea de ensamblaje en el momento i, siendo δ i= 1 si la unidad es defectuosa y δ =0 en caso contrario. La variable δ sigue una distribución Bernoulli con parámetro p=0’05, de acuerdo con el dato inicialdel problema. Además, nótese que un conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes, por lo que el número de unidades defectuosas de un total de n unidades terminadas ( δ 1………. δ n), esto es,η n , p =

∑δi ,
i =1

n

sigue una distribución

binomial de parámetros n y p=0,05. Hechas estas consideraciones iniciales, procedemos a resolver el problema: 1.Procedamos a calcular:
8 10  2 P(η10, 0'05 = 2) =   * 0'05 * (1−0,05) = 0,0476 2   

2. Se tiene que:
10 −i 10  i P (η10,0 '05 ≤ 2) =   * 0'05 * (1−0,05) = 0,9984 i   

3. Por último:

10 − 0 0 10  P(η10, 0 '005 ≥ 1) = 1 − P(η10, 0'05 = 0) = 1 −   * 0,05 * (1− 0,05) = 1 − 0,5987 = 0,4013 0   

2. El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservassabe, por experiencia, que el 20% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa?

SOLUCIÓN: Representemos por la variable aleatoria δ la decisión de asistir ( δ = 0) o no ( δ = 1) finalmente al restaurante por parte de unapersona que ha hecho una reserva. Esta variable sigue una distribución de Bernoulli de parámetro p = 0,2, de acuerdo con el enunciado del ejercicio. Suponiendo que las distintas reservas son independientes entre sí, se tiene que, de un total de n reservas ( δ 1…. δ n), el número de ellas que acuden finalmente al restaurante es una variable aleatoria Yn =

∑ δ 1 , con distribución binomial deparámetros n y p=0,2. En el caso particular
i =1

n

del problema, n=25. Entonces, para aquellas personas que asistan al restaurante de las 25 que han hecho la reserva puedan disponer de una mesa, debe ocurrir que acudan 20 o menos. Así se tiene que:

20 25   P (Y ≤ 20) = ∑   * 0,2 i * (1 − 0,2) 25−i = 0,5799   i =0  i 

3. Una empresa electrónica observa que el número de componentesque fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de estos fallos es ocho, 1. ¿cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas? 2. ¿y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas? 3. ¿cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas?

SOLUCIÓN: Sea la variable aleatoria δ , con distribuciónde Poisson con parámetro λδ = E [δ ] = 8, que determina el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento.

1. Considerando que se cumplen ciertas condiciones de regularidad, podemos asumir que una variable η que mide el número de componentes que fallan antes de cumplir 25 horas de funcionamiento sigue una distribución de Poisson con parámetro λη = E [η ] = 8=4 =2. Por lo tanto, la probabilidad deseada es la siguiente:

P = (η = 1) =

21 − 2 * e = 0,27067 1!

2. Análogamente, definimos una variable aleatoria U con distribución de Poisson de parámetro λU = 8=2 = 4, que mide el número de componentes que fallan antes de cumplir las 50 horas de funcionamiento. Se tiene entonces que:

4i P (U ≤ 2) = ∑ * e − 4 = 0,2381 i = 0 i!
2

3. De la misma...