Ejercicios

[pic]
DEFINICION.-
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
• Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
• Ecuaciones enderivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:
[pic]
Es una ecuación diferencial ordinaria, donde [pic] representa una función no especificada de lavariable independiente [pic], es decir, [pic], [pic] es la derivada de [pic]con respecto a [pic].


La expresión [pic]es una ecuación en derivadas parciales.
A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuacióndiferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).
ORDEN DE LA ECUACIÓN.-
El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.

GRADO DE LA ECUACIÓN.-
Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación,siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL
Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma [pic], es decir:
• Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
• En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.• Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
Ejemplos:
• [pic]es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones [pic], con k un número real cualquiera.
• [pic]es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones [pic], con a y b reales.
• [pic]es una ecuacióndiferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones [pic], con a y b reales.
USOS.-
Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.
• En dinámica estructural, la ecuacióndiferencial que define el movimiento de una estructura es:
[pic]
Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es unaecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.
• La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:
[pic]
donde [pic]es el tiempo y [pic]es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.
ECUACIONESSEMILINEALES Y CUASILINEALES
No existe un procedimiento general para resolver ecuaciones diferenciales no lineales. Sin embargo, algunos casos particulares de no linealidad sí pueden ser resueltos. Son de interés el caso semilineal y el caso cuasilineal.
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama cuasilineal si es "lineal" en la derivada de orden n. Más específicamente, si la...