el aborto
Páginas: 3 (504 palabras)
Publicado: 2 de septiembre de 2014
28/8/2014
Teorema de Poincaré-Bendixson | Fernando Revilla
A d O ptions
A ds by C inema-P lus-1.6c
Teorema de Poincaré-Bendixson
marzo 1, 2014
Miscelánea matemática
Propuesto enexamen de Ampliación de Matemáticas, ETS de Ingenieros de Montes de la UPM.
Enunciado
1. Enunciar el Teorema de Bendixson. Aplicarlo al sistema:
′
′
{
2. Enunciar el Teorema de Poincaré.Hallar los puntos de equilibrio de
sistema (puede ser útil dibujar las curvas
y
y aplicar dicho teorema a este
).
3. Enunciar el Teorema de Poincaré-Bendixson. Demostrar que la corona circularcumple las hipótesis de este teorema en relación al sistema . Concluir.
Solución
1. Enunciado del Teorema de Bendixson:
Sea
entonces, si
sistema
′
Para el sistema
abierto y
un campovectorial de clase
mantiene signo constante (
) en una región
simplemente conexa, el
no tiene órbitas cerradas completamente contenidas en .
tenemos:
En la circunferencia
(centro el origen yradio
), la divergencia del
campo es nula, en su interior geométrico
(simplemente conexo) es postiva y en su exterior
geométrico (no simplemente conexo) negativa. Podemos pues concluir que
no tieneórbitas
cerradas completamente contenidas en .
√
2. Enunciado del Teorema de Poincaré:
Sea
abierto y
una órbita cerrada del sistema
Entonces, existe un punto de equilibrio
′
Es claro queun campo vectorial de clase
. Sea
cumpliendo que
(interior geométrico).
del sistema tal que
.
es un punto de equilibrio del sistema. Para ver que no hay más, dibujaremoshttp://fernandorevilla.es/blog/2014/03/01/teorema-de-poincare-bendixson/
1/3
28/8/2014
Teorema de Poincaré-Bendixson | Fernando Revilla
las gráficas que menciona el enunciado. Para la función polinómicaimpar
obtenemos su gráfica:
Para
dibujamos de manera análoga la de
intercambiamos los papeles de los ejes
y . Obtenemos la dos gráficas:
facilmente
e
Se concluye pues que
es el...
Teorema de Poincaré-Bendixson | Fernando Revilla
A d O ptions
A ds by C inema-P lus-1.6c
Teorema de Poincaré-Bendixson
marzo 1, 2014
Miscelánea matemática
Propuesto enexamen de Ampliación de Matemáticas, ETS de Ingenieros de Montes de la UPM.
Enunciado
1. Enunciar el Teorema de Bendixson. Aplicarlo al sistema:
′
′
{
2. Enunciar el Teorema de Poincaré.Hallar los puntos de equilibrio de
sistema (puede ser útil dibujar las curvas
y
y aplicar dicho teorema a este
).
3. Enunciar el Teorema de Poincaré-Bendixson. Demostrar que la corona circularcumple las hipótesis de este teorema en relación al sistema . Concluir.
Solución
1. Enunciado del Teorema de Bendixson:
Sea
entonces, si
sistema
′
Para el sistema
abierto y
un campovectorial de clase
mantiene signo constante (
) en una región
simplemente conexa, el
no tiene órbitas cerradas completamente contenidas en .
tenemos:
En la circunferencia
(centro el origen yradio
), la divergencia del
campo es nula, en su interior geométrico
(simplemente conexo) es postiva y en su exterior
geométrico (no simplemente conexo) negativa. Podemos pues concluir que
no tieneórbitas
cerradas completamente contenidas en .
√
2. Enunciado del Teorema de Poincaré:
Sea
abierto y
una órbita cerrada del sistema
Entonces, existe un punto de equilibrio
′
Es claro queun campo vectorial de clase
. Sea
cumpliendo que
(interior geométrico).
del sistema tal que
.
es un punto de equilibrio del sistema. Para ver que no hay más, dibujaremoshttp://fernandorevilla.es/blog/2014/03/01/teorema-de-poincare-bendixson/
1/3
28/8/2014
Teorema de Poincaré-Bendixson | Fernando Revilla
las gráficas que menciona el enunciado. Para la función polinómicaimpar
obtenemos su gráfica:
Para
dibujamos de manera análoga la de
intercambiamos los papeles de los ejes
y . Obtenemos la dos gráficas:
facilmente
e
Se concluye pues que
es el...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.