El binomio de newton

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM. a

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´ 0. TEMAS BASICOS ´ 0.3. NUMEROS COMBINATORIOS. EL BINOMIO DE NEWTON.
0.3.1. Definiciones
• Se define el factorial de unn´mero natural n ≥ 1 como el producto de todos los n´meros naturales u u no nulos menores o iguales que dicho n´mero: u n! = n · (n − 1) · . . . · 3 · 2 · 1 y el de cero como: 0! = 1. • Dados dosn´meros naturales n ≥ m ≥ 0 se define el n´ mero combinatorio n sobre m como u u n m = n! n(n − 1) . . . (n − m + 1) = m!(n − m)! m!

0.3.2. Interpretaci´n y aplicaciones o
u • El factorial de n es eln´mero de ordenaciones distintas que se pueden hacer con n elementos. • El n´mero combinatorio n sobre m es el n´mero de elecciones distintas de m elementos que se pueden u u hacer de entre un conjuntode n elementos. En otras palabras, es el n´mero de subconjuntos de m u elementos que tiene un conjunto de n elementos.

0.3.3. Ejemplos
1. Algunos ejemplos de c´lculo de factoriales: a 2! = 2 · 1 =2 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040

a u 2. Algunos ejemplos de c´lculo de n´meros combinatorios: 5 1 = 5! 5 · 4! == =5 1! · 4! 4! 7 3 = 7! 7 · 6 · 5 · 4! 210 == = = 353! · 4! 3 · 2 · 1 · 4! 6 7 4 = 35

0.3.4. Propiedades. El tri´ngulo de Tartaglia a
1. Para cada cualquier n´mero natural n: u n 0 = n n =1 y si n ≥ 1: n 1 = n n−1 =n

u 2. Para cualesquieran´meros naturales n ≥ m: n m 3. Para cualesquiera n´meros naturales n > m: u n n + m m+1 = n+1 m+1 = n n−m

4. Usando la propiedad anterior, se construye el tri´ngulo de Tartaglia, donde cada n´mero es au la suma de los dos que est´n inmediatamente por encima, cuyas formas combinatoria y num´rica a e aparecen a continuaci´n: o

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM. a0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 5 1 6 1 4 1 5 2 6 2 3 1 4 2 5 3 6 3 2 1 3 2 4 3 5 4 6 4 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 5

2 1 1 1 2 3 3 6 10 10 20 ··· ··· 15 ··· 4 5 6 ··· 1 1 1 1 1 ···

1 1 1 1
6 6

4 5...