EL CÁLCULO INFINITESIMAL

EL CÁLCULO INFINITESIMAL


Si bien se puede decir que la obra de Copérnico abrió la Revolución Científica, los aportes de Kepler y las batallas y aportes en la mecánica de Galileo afirmaron la nueva visión de la astronomía y de la ciencia, el punto determinante fue la obra de Newton, que logró precisamente la fusión del cielo y la tierra en una descripción del universo con leyes matemáticas. Elmundo que siguió fue newtoniano de muchas maneras. No obstante, en este trabajo no vamos a concentrarnos en esa apasionante temática, aunque sí mencionaremos algunas consecuencias, hacia el final del este capítulo. Lo interesante de subrayar es que Newton fue también uno de los creadores del cálculo diferencial e integral, culminación de esfuerzos de siglos, y, más que eso, también, un motoresencial de las matemáticas de la Modernidad.


1 Hacia el cálculo
Si bien algunos de sus fundamentos, especialmente en torno a la integral, se encuentran en la Antigüedad Clásica griega, como por ejemplo en los trabajos de Arquímedes, en la nueva época un primer punto importante por señalar fue establecido por Cavalieri, en el año 1635. Usando el concepto de "indivisible''; este profesor de laUniversidad de Bolonia generaba la rectas a partir de puntos y los planos a partir de la rectas por medio del movimiento. Es decir, avanzó elementos en lo que luego sería el cálculo integral. Es en este territorio intelectual que nació precisamente el famoso principio de Cavalieri: “si las áreas de las secciones representativas de dos sólidos son iguales, y la altura de los dos sólidos es igual, despuéslos volúmenes de los dos sólidos son iguales”. El principio de Cavalieri se considera ser un paso significativo en el desarrollo del cálculo infinitesimal.
Pero en esa época no sólo se trabajaba en el cálculo de longitudes de segmentos, áreas, volúmenes. También en el problema de encontrar la recta tangente a una curva a un punto dado.
En general, cuatro fueron los problemas que se buscó resolver:determinar la velocidad y la aceleración instantáneas de un cuerpo, dada la distancia en función del tiempo, y viceversa (si se tenía la velocidad o la aceleración, se trataba de encontrar la distancia o la velocidad respectivamente en un momento determinado); determinar la tangente a una curva en un punto (por ejemplo para dar una dirección de un cuerpo en movimiento o el cálculo de rectastangentes y normales a curvas para la descripción del comportamiento de la luz, el diseño de lentes); encontrar el máximo o el mínimo de una función (por ejemplo, para calcular las distancias máxima y mínima de un planeta en su movimiento traslacional, o la inclinación de un cañón para que una bala golpee a la máxima distancia posible); encontrar las longitudes de curvas, áreas y volúmenes determinadaspor curvas o superficies, y centros de gravedad de cuerpos (utilidad en el cálculo de la distancia recorrida o el área "barrida'' por el planeta en un tiempo).
En los orígenes del cálculo es posible determinar dos tendencias definidas, una algebraica y otra geométrica. Mientras que Fermat, Descartes o John Wallis se inclinaban por una aproximación algebraica, Torricelli, Isaac Cavalieri y Barrowlo hacían por una geométrica. Esto último también sucedía con Huygens.
Debe señalarse que en la mayoría de los casos el tipo de curvas que estudiaban en la mitad del siglo XVII eran algebraicas y sólo muy ocasionalmente trascendentes.
Se deben mencionar varios avances precursores en el cálculo. Por ejemplo, ya en el mismo año de 1638, Fermat había descubierto un método para encontrar máximos ymínimos en una ecuación algebraica simple, el cual fue generalizado posteriormente por el holandés Johannes Hudde.
Fermat y la tangente
Fue en el curso de sus trabajos en la geometría de coordenadas que Fermat descubrió un método que le permitía calcular la pendiente de una recta tangente a una curva algebraica. Un claro antecedente del concepto de derivada. La forma precisa en que Fermat lo...