El maltrato infantil

Cap´ıtulo 7

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

7.1. Introduccio´n

Se denomina ecuaci´on lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incognitas no est´an elevadas a potencias, ni multiplicadas entre s´ı, ni en el denominador.
Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuaci´on lineal con tres incognitas.
Como es bien sabido, las ecuaciones linealescon 2 inco´gnitas representan una recta en el plano. Si la ecuacion lineal tiene 3 inco´gnitas, su representaci´on gra´fica es un plano en el espacio.
Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:

Figura 7.1: Representaci´on gra´fica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del del plano x + y + z = 1 en el espacio

El objetivo del tema es el estudio de los sistemas deecuaciones lineales, es decir, un conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geom´etricamente representan la misma recta o plano.

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7.2. Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

a11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + ··· + a1n · xn = b1
a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + ··· + a2n · xn = b2 
.
am1 · x1 + am2 · x2 + am3 · x3 + ··· + amn · xn = bm
En este caso tenemos m ecuaciones y n inc´ognitas.
Los nu´meros reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incognitas (o nu´meros a determinar) y bj se denominan t´erminos independientes.
En el caso de que las inc´ognitas sean 2 se suelen designarsimplemente por x e y en vez de x1 y x2
, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema.
Resolver el sistema consiste en calcular las inc´ognitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simult´aneamente.
Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

7.3. Expresio´n matricial deun sistema

Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:

 a11 a12 a13 ... a1n 
 a21 a22 a23 ... a2n 

x1 
x2 

 b1 
 b2 

 . .

. . . .

 ·  .  =  . 

 . .

. . .

  . 

 . 

     

am1 | am2 | am3 | ... | amn | xn | bm |
| | m x n | | | n x 1 | m x 1|

 a11 a12 a13 ... a1n 

x1 

La matriz A =  a21 a22 a23 ... a2n  se llama matriz de coeficientes, la matriz X = x2 

.
.
.
.
.
.
 . 
 

 
.
 . 


am1 am2 am3 ... amn

  
xn
 b1 

 . 
se llama matriz de inco´gnitas, y la matriz B =  b2  se llama matriz de t´erminos independientes.
 . 
 
bm
Lamatriz formada por A y B conjuntamente, es decir:

 a11 a12 a13 ... a1n b1 
a21 a22 a23 ... a2n b2

(A B) = 
 .

. . .

. . .

. 
. 

|
 . . 
 

am1 am2 am3 ... amn bm

se llama matriz ampliada del sistema y se representar´a por (A|B) o bien por A∗.

Ejemplo: El sistema:

x + y − z = 5
x + y = 7


escrito matricialmente es:

2x + 2y − z = 12
1 1 −1

x

 5 

1 1 0  · y =  7 
2 2 −1 z 12


y la matriz ampliada es:

−
1 1 1 5 





(A|B) = 1 1 0 7


7.4. Tipos de sistemas

2 2 −1 12

En general,buscaremos las soluciones de los sistemas en los nu´meros reales R. Dependiendo del posible nu´mero de talessoluciones reales que tenga un sistema, ´estos de pueden clasificar en:


 * INCOMPATIBLES (No tienen solucio´n)→ S.I.
)
* COMPATIBLES (Tienen solucio´n * DETERMINADOS (Solucio´n u´nica)→ S.C.D.
 * INDETERMINADOS (Infinitas soluciones)→ S.C.I.

7.5. Sistemas con dos inco´gnitas

Los sistemas m´as sencillos son aquellos en los que s´olo hay dos incognitas y 2 ecuaciones, y que ya...