El Mapa De Karnaugh

2015
MAPAS DE KARNAUGH

Mario Camere
UNIVERDAD PERUANA DE LOS ANDES
18-8-2015

El mapa de Karnaugh

El álgebra Boleana es un arma poderosa para el estudio de los circuitos lógicos.
Sin embargo, el álgebra Boleana tiene sus limitaciones.
Considérese la siguiente expresión:

AB + B
Aparentemente, esta expresión ya no se puede simplificar. Sin embargo, podemos
comprobar (construyendo las Tablas deVerdad) que esta expresión cuya simplificación no
es tan obvia pese a todo es equivalente a la siguiente expresión:

A+B
la cual es mucho más sencilla. Se hace evidente que hay casos en los cuales el álgebra
Boleana no es suficiente. Tenemos pues que recurrir a otras técnicas que la complementen.
Los diagramas de subconjuntos nos proporcionan una manera sencilla de poder visualizar
las relacionesque puede haber entre varias variables. Quizá los diagramas más sencillos de
todos son los que representan al "1" lógico, el cual podemos representar como un cuadro
completamente lleno, y al "0" lógico, el cual podemos representar como un cuadro
completamente vacío:

En este tipo de diagramas, no sólo podemos representar el "uno" y el "cero". También
podemos representar variables. El diagrama mássencillo de todos es el que utilizamos para
representar una sola variable, el cual está dividido en dos partes: una parte "llena" que es la
parte en la cual la variable A toma el valor de "1" (a la izquierda, de color ciano), y la parte
"vacía" que es la parte en la cual la variable A toma el valor de "0" (a la derecha, sin color):

Pero con estos diagramas no sólo podemos representar a lavariable. También podemos
representar el inverso lógico de la variable, el cual será como se muestra a continuación:

Del mismo modo, podemos representar una segunda variable B y el complemento de la
misma de la siguiente manera:

Superimponiendo ambas variables en un mismo diagrama, podemos contestar algunas
preguntas interesantes como la siguiente: ¿en qué parte del diagrama mixto se encontrará laregión en la cual ambas variables A y B se traslapan? La respuesta se dá a continuación:

A continuación tenemos la región en donde la variable A se traslapa con el complemento de
la variable B, así como la región en la cual los complementos de ambas variables se
traslapan:

Hagámonos ahora otra pregunta: ¿cuál sería la región en la cual las variables A y B se unen
(en lugar de intersectarse), laporción del diagrama en donde podemos estar ya sea en A ó
en B, o sea la región que representaría la suma Boleana A+B de dichas variables? La
respuesta se dá a continuación:

Y el área que representa la suma Boleana de los complementos de ambas variables es la
siguiente:

Por su parte, la expresión Boleana AB+AB que representa la salida de un bloque OREXCLUSIVO es la siguiente:

Si queremossuperimponer en el mismo mapa una tercera variable C, lo podemos hacer de
la siguiente manera:

Y si queremos superimponer en el mismo mapa una cuarta variable D, lo podemos hacer de
la siguiente manera:

El mismo procedimiento constructivo se puede extender hacia una quinta variable e
inclusive hacia una sexta variable, aunque la ventaja de visualización se va perdiendo
rápidamente encima de lascuatro variables.
Para representar en el mapa una expresión elaborada como (A+B)(C+D):

primero localizamos en el mapa la región que representa la suma de las regiones A y B, o lo
que es lo mismo, la suma Boleana de las variables A y B:

tras lo cual localizamos en el mapa la región que representa la suma de las regiones C y D,
o lo que es lo mismo, la suma Boleana de las variables C y D:

tras locual obtenemos un mapa que represente las regiones que ambos mapas de A+B y
C+D tengan en común, o sea la región común en la que ambos se intersectan, lo cual
equivale a llevar a cabo la operación lógica AND de A+B y de C+D.
Los diagramas de subconjuntos permiten verificar de manera casi inmediata todos los
teoremas Boleanos que fueron demostrados en el capítulo anterior. Por ejemplo, el teorema...