El método de separación de variables se refiere a un procedimiento para encontrar una solución completa particular para ciertos problemas que involucran ecuaciones en derivadas parciales como serie cuyos términos son el pr

El método de separación de variables se refiere a un procedimiento para encontrar una solución completa particular para ciertos problemas que involucran ecuaciones en derivadas parciales como serie cuyos términos son el producto de funciones que tienen las "variables separadas". Es uno de los métodos más productivos de la física matemática para buscar soluciones a problemas físicos descritosmediante ecuaciones diferenciales de derivadas parciales.
El mismo nombre se aplica a la forma de buscar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de cierto tipo que permite resolverlas por cuadraturas de funciones que contienen las variables separadas
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales[editar]El método sirve para encontrar soluciones parciales completas, no soluciones generales,dependientes de un conjunto numerable de constantes arbitrarias, lo cual permite resolver tanto problemas de valor inicial como problemas de frontera e incluso problemas que involucran condiciones de los dos tipos.

Ejemplo: ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden[editar]Para ilustrar el método se consideran ecuaciones diferenciales en derivadas parciales homogéneas con dos variablesindependientes y condiciones de frontera también homogéneas. En las siguientes secciones se discutirán los requerimientos y se discutirán casos más generales. La descripción del procedimiento en esta sección se hará simultáneamente para los tres tipos canónicos de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden (ecuaciones elípticas, parabólicas e hiperbólicas), especificando las condicionesiniciales (CI) y condiciones de frontera (CF) para cada caso.

El caso hiperbólico sería de la forma:

(1a)
El caso parabólico sería de la forma:

(1b)
Y el caso elíptico sería de la forma:

(1c)
El método de separación de variables consiste en buscar una solución que sea un producto de funciones dependientes cada una de una sola de las variables. Para los casos hiperbólico y parabólico se buscaráuna solución de la forma:

(2a,b)
Y para el caso elíptico:
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales[editar]El método sirve para encontrar soluciones parciales completas, no soluciones generales, dependientes de un conjunto numerable de constantes arbitrarias, lo cual permite resolver tanto problemas de valor inicial como problemas de frontera e incluso problemas que involucran condiciones delos dos tipos.

Ejemplo: ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden[editar]Para ilustrar el método se consideran ecuaciones diferenciales en derivadas parciales homogéneas con dos variables independientes y condiciones de frontera también homogéneas. En las siguientes secciones se discutirán los requerimientos y se discutirán casos más generales. La descripción del procedimiento en estasección se hará simultáneamente para los tres tipos canónicos de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden (ecuaciones elípticas, parabólicas e hiperbólicas), especificando las condiciones iniciales (CI) y condiciones de frontera (CF) para cada caso.

El caso hiperbólico sería de la forma:

(1a)
El caso parabólico sería de la forma:

(1b)
Y el caso elíptico sería de la forma:

(1c)
Elmétodo de separación de variables consiste en buscar una solución que sea un producto de funciones dependientes cada una de una sola de las variables. Para los casos hiperbólico y parabólico se buscará una solución de la forma:

(2a,b)
Y para el caso elíptico:

(2c)
Sustituyendo u por esas expresiones en la ecuación diferencial correspondiente y reagrupando los términos se llega para el caso hiperbólico(CH), parabólico (CP) y elíptico (CE) a:

(3)
Puesto que cada uno de los dos miembros de estas expresiones depende de variables distintas y la igualdad debe darse para cualesquiera t, x, y la única posiblidad es que cada uno de los miembros sea igual a una constante fija. Designando a esa constante como las expresiones anteriores pueden reescribirse como:

(4)
Todo esto ha permitido pasar de...