Método de diferencias finitas para la solución de ecuaciones en derivadas parciales

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M´todo de Diferencias Finitas para la Soluci´n de e o Ecuaciones en Derivadas Parciales
Jhon Jairo Ram´ R. ırez Carlos Andr´s Vanegas G. e Andr´s Mauricio Villegas R. e Universidad Eafit, Medell´ Colombia ın,

1.

Introducci´n o

La teor´ de Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) se ha convertido en ıa uno de los campos de estudio m´s importantes en matem´ticas, debido a su a a frecuenteaplicaci´n en diferentes ´reas de la f´ o a ısica, ingenier´ y otras ciencias. ıa Entre las EDP m´s representativas se encuentran la Ecuaci´n de Laplace, la a o Ecuaci´n de Onda y la Ecuaci´n de Calor. o o La Ecuaci´n de Laplace modela la distribuci´n de temperatura en estado o o estacionario para una regi´n. Si u(x, y, z) representa la temperatura en un punto o (x, y, z) en la regi´n, ladistribuci´n se obtiene al solucionar la ecuaci´n o o o
2

u=0

Esta ecuaci´n aparece en muchos otros problemas de la f´ o ısica como: Potenciales Electrost´ticos, Potenciales en Hidrodin´mica y Potenciales Arm´nicos en la a a o Teor´ de la Elasticidad. ıa La Ecuaci´n de Calor constituye una herramienta de gran utilidad para dar o soluci´n a problemas de flujo de calor en cuerpos determinados. Si u(x,y, z, t) o es la temperatura en el punto (x, y, z), en un instante t, la ecuaci´n es o ut = k
2

u

Esta ecuaci´n aparece tambi´n en una gran variedad de problemas de la o e f´ ısica matem´tica: por ejemplo, la concentraci´n de material en difusi´n, la a o o propagaci´n de olas en canales de gran longitud, y la transmisi´n en cables o o el´ctricos [4]. En la termodin´mica, la ecuaci´n decalor puede ser aplicada en e a o tres situaciones: cuerpos s´lidos (tres dimensiones), placas (dos dimensiones), y o barras (una dimensi´n). o La Ecuaci´n de Onda surge al describir fen´menos relativos a la propagaci´n o o o de ondas en un medio continuo. Los estudios de ondas ac´sticas, ondas de agua, u 1

ondas electromagn´ticas y vibraciones mec´nicas est´n basados en esta ecuaci´n e a a o [5].Si u(x, y, t) representa la altura del punto (x, y) en el instante t, la ecuaci´n o es utt = c2 (uxx + uyy ) La deducci´n desde la f´ o ısica de las tres ecuaciones puede ser consultada en [4]. Las soluciones de estas tres ecuaciones pueden calcularse mediante m´todos e anal´ ıticos o aproximarse mediante m´todos num´ricos. Es el prop´sito de este e e o proyecto ilustrar el m´todo num´rico dediferencias finitas para el c´lculo de e e a la soluci´n de las Ecuaciones de Calor y de Onda para el caso unidimensional, o y comparar los resultados obtenidos mediante este m´todo con los resultados e anal´ ıticos, para un caso particular.

2.

Planteamiento del Problema

La ecuaci´n de calor unidimensional ut = kuxx aplicar´ por ejemplo, para o ıa, el caso de una barra met´lica larga ydelgada, con aislamiento, ya que la tempea ratura de cualquier secci´n transversal ser´ constante, debido a que el tiempo o ıa que tarda la temperatura en equilibrarse en distancias cortas se asume como despreciable. En este caso, si asumimos que la barra tiene una longitud l, una temperatura inicial f (x), y que los extremos se mantienen a temperatura cero, la distribuci´n o de temperatura en la barraest´ dada por la soluci´n del problema de valores a o iniciales y en la frontera: ut u(0, t) u(l, t) u(x, 0) = = = = kuxx 0 0 f (x) 0> k), y esto reduce su eficiencia. Por tanto, se hace necesario un m´todo que permita tomar valores similares para h y k, y que adem´s e a sea estable para todo λ. Este m´todo se puede obtener al promediar el m´todo e e de diferencias progresivas en el j-´simo paso ent, e ui,j+1 − ui,j ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j = α2 k h2 y el m´todo de diferencias regresivas en el (j + 1)-´simo paso en t e e ui+1,j+1 − 2ui,j+1 + ui−1,j+1 ui,j+1 − ui,j = α2 k h2 Entonces se tiene que una aproximaci´n por diferencias para la ecuaci´n de calor o o es ui,j+1 − ui,j α2 ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j ui+1,j+1 − 2ui,j+1 + ui−1,j+1 = + 2 k 2 h h2 que puede ser reescrito como λ λ λ λ −...
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