El Método Monte-Carlo y Su Aplicación a finanzas

El método Monte-Carlo y su aplicación a finanzas
Patricia Saavedra Barrera1 y Víctor Hugo Ibarra Mercado 15 de agosto de 2008
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de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa, psb@xanum.uam.mx 2 Escuela de Actuaría, Universidad Anáhuac. ESFM-IPN, vibarra@anahuac.mx

1 Departamento

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Índice general
1. Valuación de opciones por Monte-Carlo 1.1. Introducción a lasopciones . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Modelación matemática de las opciones . . . . . . . . 1.3. Valuación de una opción europea . . . . . . . . . . . 1.4. El método Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Algoritmo de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . 1.5. Valuación de opciones asiáticas . . . . . . . . . . . . 1.6. Esquemas numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.Resultados de la simulación Monte Carlo . . . . . . . 1.8. Métodos de reducción de varianza: variable de control 1.9. Resultados numéricos con reducción de varianza . . . 7 7 9 12 14 16 19 21 23 24 27 31 31 33 38 40 41 45 45 47 49 50 51 53 55 55 57 58 62

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2. Cálculo de la cobertura 2.1. Cálculo de lacobertura para opciones europeas vainilla 2.2. Cálculo de la cobertura por Monte-Carlo . . . . . . . . 2.2.1. Cobertura de la opción asiática . . . . . . . . . 2.3. Cálculo de algunas griegas por Monte-Carlo . . . . . . 2.3.1. Cálculo de las griegas para la opción asiática . .

A. Anexos A.1. Generadores de números aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . A.2. Pruebas para validar generadores denúmeros aleatorios . . . . A.3. Generación de observaciones de variables aleatorias . . . . . . A.4. Simulación de una caminata aleatoria . . . . . . . . . . . . . . A.4.1. Simulación de un movimiento browniano . . . . . . . . A.4.2. Aproximación de la solución de un proceso estocástico

B. Integración numérica por Monte-Carlo B.1. Integración numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . B.1.1. Método de Monte-Carlo para el cálculo de integrales B.2. Integración múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3. Integración numérica por Cuasi Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . .

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ÍNDICE GENERAL

Introducción
La valuación y cobertura de las opciones son temas que en los últimos veinte años han adquirido una gran importancia. Las opcionesvainilla tipo call se comenzaron a negociar en forma sistemática desde 1973 en el mercado de futuros de Chicago, las opciones put a partir de 1977 y las exóticas en 1982. A fines de los años ochenta el mercado de opciones se estimaba en cuatro billones de dólares, ver [9]. El problema de la valuación puede ser analizado tanto desde un marco probabilístico como desde el punto de vista de lasecuaciones en derivadas parciales. Desde el probabilístico, valuar una opción se reduce al cálculo de una esperanza de una función continua aplicada a un proceso estocástico, mientras que determinar la cobertura implica el cálculo de la derivada de dicha esperanza. Para buena parte de las opciones la valuación y el cálculo de la cobertura no pueden hacerse en forma exacta, hay que aproximarlas por mediode métodos numéricos. Entre ellos, el más popular es el método de Monte-Carlo que consiste en aproximar la esperanza por medio de la media muestral de una muestra de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. Estas notas tienen como objetivo introducir al lector a la valuación y cálculo de la cobertura tanto desde el punto de vista teórico como numérico. El enfasis está...