El sólido rígido

EL SÓLIDO RÍGIDO



MECÁNICA II. ETSI.INDUSTRIALES

CURSO 08/09

ÍNDICE

1.- Introducción

2.- Las magnitudes fundamentales

2.1. Velocidad

2.2. Energía cinética

2.3. Lagrangiana y Hamiltoniana

2.4. Momento angular

2.5. Momento Mecánico

3.- Tensor de inercia

3.1. Expresión de las componentes
3.2. Eltensor de inercia diagonalizado. Ejes y momentos principales

3.3. Momento de inercia respecto a un eje cualquiera. Teorema de Poinsot

3.4. El Elipsoide de Inercia

3.5. El Teorema de Steiner

4.- Las ecuaciones del movimiento

5.- Calculando momentos de inercia

6.- Bibliografia

1.-INTRODUCCIÓN

Un sólido rígido ideal es un conjunto de partículas mj, cuyasdistancias relativas dij=rj-ri, se mantienen constantes. Cuando en los sólidos reales se pueden despreciar los inevitables cambios en la forma y en el volumen, se pueden tratar como sólidos rígidos ideales.
Para poder describir la mecánica del sólido rígido es conveniente la elección precisa de los sistemas referenciales necesarios. Esta descripción se simplifica si elegimos tres sistemas dereferencia: uno, Kf, fijo en un punto exterior al sólido, otro, k1, fijo en un punto del sólido (x0,y0,z0), con los ejes siempre paralelos a Kf, es decir, no gira con el sólido. Y, finalmente, un tercer sistema referencia, k2, que tendría su origen en el mismo punto origen, (x0,y0,z0), de K1, pero giraría con el sólido.
El movimiento de K2 con respecto a K1 nos permitirá, en definitiva, el estudio de unsólido ideal con un punto fijo, dotado de un movimiento rotacional.
Asimismo, cualquier posición en el espacio del sólido rígido queda determinada con respecto al sistema exterior fijo, Kf, por el vector de posición del origen común de los sistemas K1 y K2, y los tres ángulos (A,B,C) que orientan al sistema K2 con respecto al sistemas K1. En definitiva, el sólido rígido puede estudiarse como unsistema con seis grados de libertad: x0,y0,z0, A,B,C.

[pic]

2.- LAS MAGNITUDES FUDAMENTALES

2.1. Velocidad

Supongamos que sea w la velocidad instantánea de rotación del sólido y tomemos un punto P cualquiera para encontrar la expresión de su velocidad.
Si elegimos un punto O del eje de rotación instantáneo del sólido como punto de referencia, será OP el vector de posición del punto Pdado. La velocidad lineal instantánea de rotación del punto P viene dada por [pic]. Por lo que la velocidad de P será la suma de la velocidad de traslación del eje de rotación, que es la velocidad de traslación del sólido, más su velocidad debida a la rotación. O sea:
[pic]
[pic]

Si en lugar de usar como origen de referencia un punto O del eje de rotación instantáneo, tomamos otro punto O’cualquiera del sólido, se tiene que su velocidad de este punto O’ respecto al punto O anterior es, de forma análoga:
[pic]
por lo que, si restamos ambas expresiones, se tiene:
[pic]
O sea, también se puede expresar la velocidad de P con respecto a otro punto cualquiera O’ por
[pic]
donde ahora es [pic]la velocidad del punto O’ arbitrario de referencia, no necesariamente la velocidad detraslación del sólido.
Se puede enunciar, en definitiva, este teorema:
La velocidad de un punto cualquiera P de un sólido rígido es la suma vectorial de la velocidad de un punto de referencia O cualquiera más la velocidad lineal de P respecto al eje de rotación instantánea del sólido. Si el punto O de referencia elegido es un punto del eje de rotación, la velocidad de este punto O es precisamente lavelocidad de traslación del sólido.
Consecuencia: La velocidad instantánea de rotación del sólido es un invariante. Es decir, puede considerarse un vector libre, aun cuando el eje de giro cambia con el origen que se tome. También es un invariante, obviamente, la velocidad V0 de traslación del sólido.
En general los vectores que definen la velocidad de traslación del sólido, Vo, y la velocidad...