El teorema de la curva de jordan

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Divulgaciones Matem´ticas v. 6, No. 1 (1998), 43–60.
a

El Teorema de la Curva de Jordan
Jordan’s Curve Theorem
Francisco Garc´ Arenas (farenas@ualm.es)
ıa
Mar´ Luz Puertas (mpuertas@ualm.es)
ıa
´
Area de Geometr´ y Topolog´
ıa
ıa.
Facultad de Ciencias Experimentales.
Universidad de Almer´
ıa.
04071 Almer´ Espa˜ a.
ıa.
n

Resumen
En este trabajo se presentan los materialesdid´cticos corresa
pondientes a una demostraci´n reciente y especialmente simple
o
(debida a R. Maehara) del Teorema de la curva de Jordan. Tambi´n se incluyen demostraciones muy simples del Teorema del
e
´
punto fijo de Brouwer y del Teorema Fundamental del Algebra.
Palabras y frases clave: Teorema del punto fijo de Brouwer, Teorema de la curva de Jordan, Teorema Fundamental del
´
Algebra.Abstract
In this paper some didactic materials are presented, corresponding to a recent and specially simple proof (by R. Maehara)
of Jordan’s curve Theorem. Very simple proofs of Brouwer’s fixed
point Theorem and the Fundamental Theorem of Algebra are also
included.
Key words and phrases: Brouwer’s fixed point Theorem, Jordan’s curve Theorem, Fundamental Theorem of Algebra.

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1Francisco Garc´ Arenas y Mar´ Luz Puertas
ıa
ıa

Introducci´n.
o

Si hay un teorema evidente y dif´cil en topolog´ ese es el Teorema de la curva
ı
ıa,
de Jordan. Evidente en el sentido de que su enunciado puede ser comprendido
por cualquiera, incluso sin formaci´n matem´tica, y no s´lo lo comprender´
o
a
o
a
sino que adem´s percibir´ como cierto lo que dice (Por poner un ejemplo, ela
a
Teorema de los cuatro colores tambi´n tiene un enunciado comprensible por
e
cualquiera, pero no es en absoluto evidente que lo que afirma sea cierto, as´
ı
que no entra en esta categor´ Dif´cil en el sentido de que una demostraci´n
ıa).
ı
o
rigurosa del teorema lo es. El Teorema de la curva de Jordan es casi el unico
´
en esas condiciones.
Dado el car´cter excepcional del teorema,todo lo que sea presentar una
a
demostraci´n lo m´s sencilla posible del mismo es un avance del m´ximo
o
a
a
inter´s en la docencia de la Topolog´ (y de las Matem´ticas en general). La
e
ıa
a
demostraci´n que presentamos se debe a Maehara (v´ase [6]) y es bastante
o
e
reciente, de 1984. Entre las virtudes de la demostraci´n nos gustar´ destacar
o
ıa
las siguientes:
1. Eselemental. Esto es, no requiere m´s conocimientos que aquellos que
a
se puedan explicar en la asignatura de topolog´ que nos ocupa; no
ıa
requiere complejas teor´ de homotop´ o de homolog´
ıas
ıa
ıa.
2. Es clara. Es decir, uno puede ilustrarla con un dibujo y el alumno
podr´ percibir el significado geom´trico de cada paso que se da en la
a
e
demostraci´n, a diferencia de las demostracioneshabituales, en las que
o
aparece como corolario de teor´ sumamente potentes, lo que hace que
ıas
no se perciba con claridad d´nde reside la dificultad de su demostraci´n.
o
o
3. Es breve. O sea, dentro de lo que cabe. No es tan breve como las demostraciones homol´gicas en las que el caso n-dimensional general apenas
o
tiene dos l´
ıneas (lo que da idea de la potencia de la teor´ empleaıada), pero con esas demostraciones el teorema queda un poco deslucido:
parece dif´ catalogarlo como dif´ e importante despu´s de una deıcil
ıcil
e
mostraci´n tan breve. Pero tampoco tiene la desmesura de alguna de
o
las demostraciones que usan aproximaciones por poligonales y que est´n
a
llenas de tediosos detalles t´cnicos que hacen que se pierda de vista el
e
objetivo final.
Dado elcar´cter did´ctico de esta exposici´n, presentamos tambi´n toa
a
o
e
dos aquellos resultados previos necesarios para la misma, que se reducen
b´sicamente a tres: el concepto de homotop´ (pero no es necesario hablar
a
ıa

El Teorema de la curva de Jordan

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de grupo fundamental, con lo cual los m´todos aqu´ usados no pueden proe
ı
piamente considerarse Topolog´ Algebraica) y el...
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