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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CENTRO UNIVERSITARIO DE LAS TUNAS 2006

RESUMEN

En este trabajo se presenta de forma breve una panorámica general de los conceptos fundamentales relacionados con la Transformada de Laplace y su utilización en la solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias hasta de segundo orden con coeficientes constantes y sistemas deEcuaciones Diferenciales. Contiene ejercicios donde se aplican estos conceptos a la solución de Ecuaciones Diferenciales que se derivan de problemas físicos. Para una mejor comprensión de las aplicaciones se brindan ejercicios resueltos y luego ejercicios propuestos con aumento gradual del nivel de complejidad

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INDICE
CONTENIDO INTRODUCCIÓN 1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DELAPLACE. 1.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. 1.2 DETERMINACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE FUNCIONES SIMPLES. 1.3 CONDICIONES DE EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA. 1.4 TRANSFORMADA INVERSA O ANTITRANSFORMADA. 1.5 PROPIEDAD DE LINEALIDAD DE LA TRANSFORMADA. 1.6 TRANSFORMADAS QUE SE OBTIENEN A TRAVÉS DE OTRAS. 1.6.1 DESPLAZAMIENTO EN EL DOMINIO DE P . 1.6.2 CAMBIO DE ESCALA. 1.6.3 DERIVADA DE LATRANSFORMADA. 2. APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMADAS A LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. 2.1 TRANSFORMADA DE LA DERIVADA. 2.2 APLICACIONES A LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. 3. APLICACIONES A LA FÍSICA. Tabla 1. Transformadas de funciones más utilizadas. Tabla 2. Fórmulas utilizadas BIBLIOGRAFÍA Pág. 3 5 5 5 7 7 7 8 8 9 10 1111 12 19 23 23 24

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INTRODUCCIÓN

En nuestro centro se cursan las carreras Ingeniería Industrial e Ingeniería Informática las que incluyen en sus programas de estudio la asignatura Matemática Superior III, en el programa de la cual aparece como tema: La solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias utilizando La Transformada de Laplace, con los siguientes objetivos: Desarrollarcapacidades para caracterizar e interpretar los conceptos más importantes relativos a las Ecuaciones Diferenciales, y la Transformada de Laplace. Modelar fenómenos de la realidad utilizando Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Sistemas de Ecuaciones Diferenciales. Resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales con coeficientes constantes y Sistemas de Ecuaciones Diferenciales. Modelar y resolver problemassencillos, geométricos, físicos y vinculados al perfil que determinen Ecuaciones Diferenciales de los tipos estudiados y resolverlos. Sistematizando los conocimientos referidos al cálculo diferencial e integral así como los sistemas de ecuaciones lineales. Como se puede apreciar en los objetivos hay que resolver tres problemas importantes, la interpretación, la solución de las ecuaciones y lamodelación de problemas sencillos. Pero en la bibliografía que se dispone se abordan los dos primeros con más profundidad que el tercero y además con detalles matemáticos que pueden hacer más engorrosa la comprensión. En cuanto al tercer problema normalmente se tratan situaciones que desde el punto de vista de los estudiantes son desconocidas o se abordan solamente con los métodos más tradicionales desolución de las Ecuaciones Diferenciales. Otro elemento que podemos adicionar es el hecho de que existe la tendencia de impartir las clases de Matemática solamente dando aplicaciones propiamente de esta ciencia con lo que el conocimiento se queda en un nivel abstracto y los estudiantes pierden oportunidades de enriquecer su universo cognitivo, con aplicaciones de otras ciencias como lo es la Físicaque brinda una gama amplia de posibilidades y está incluida en el plan de estudios. Teniendo en cuenta los problemas planteados nos dimos a la tarea de realizar una amplia revisión bibliográfica. Con la intención de confeccionar un material que incluyera los elementos fundamentales para la comprensión e interpretación del método de la Transformada de Laplace para la solución de las Ecuaciones...
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