Electronica

Cap´ ıtulo 17 Fuerzas y potenciales, III
17.1 Potencial de Schering

Puede ocurrir que entre entre las fuerzas generalizadas haya alguna que, sin ser conservativas en el sentido usual, pueda obtenerse a partir de un potencial dependiente de la velocidad V = V (qj , qj ) de la siguiente manera ˙ Qj = d dt ∂V ∂ qj ˙ − ∂V ∂qj

En tal caso, el potencial puede incorporarse en el Lagrangiano,recuperando la ecuaci´n de Lagrange en su forma usual. o Podr´ pensarse que esta es una situaci´n puramente acad´mica, pero no es ıa o e as´ Supongamos que tenemos una part´ ı. ıcula cargada q en presencia de un campo electrom´gnetico [E(r, t), B(r, t)]. Sobre esta part´ a ıcula act´a la fuerza de Lorentz u ˙ F = q (E + ξ r × B) donde ξ es una constante de proporcionalidad igual a 1 en el sistemainternacional y a 1/c en el sistema gaussiano. Esta fuerza no es conservativa en el sentido usual. Sin embargo, veremos que es posible definirle un potencial dependiente de la velocidad, adaptando as´ el electromagnetismo al formalismo Lagrangiano. El ı primero que intent´ incluir este tipo de fuerzas en la mec´nica fue el matem´tico o a a alem´n E. Schering en el a˜o 1873 (G¨tt. Abh. 18, 3). Por estemotivo E. T. a n o Whittaker, en la primera edici´n de su libro A treatise on the analytical dynamics o of particles and rigid bodies (1904), denomin´ potencial de Schering a este tipo o de funciones potencial dependientes de la velocidad. Sin embargo, con el tiempo esta denominaci´n ha caido en desuso. o Los vectores de campo el´ctrico y magn´tico satisfacen cierto n´mero de ecuae e u ciones,denominadas ecuaciones de Maxwell. No quiero robarle tema al curso de electromagnetismo, as´ que me restringir´ a anotar aquellas dos que necesitar´ ı e e 1

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Cap´ ıtulo 17. Fuerzas y potenciales, III

aqu´ Estas son la ley de Conservaci´n del flujo ı: o .B = 0 y la Ley de Faraday1 . × E = −ξ ∂B ∂t

La ley de conservaci´n de flujo nos dice que B es un campo de divergencia nula. o Por lotanto podemos definir un potencial vectorial A tal que B = × A. Reemplazando en la ley de Faraday obtenemos que × (E + ξ∂A/∂t) = 0, por lo cual tambi´n podemos definir un potencial escalar φ tal que E + ξ∂A/∂t = − φ. Vee mos entonces que ambos campos pueden generarse a partir de sendos potenciales2 escalar φ y vectorial A como B = × A y E = − φ − ξ∂A/∂t. En funci´n de estos potenciales, la fuerza deLorentz adopta la forma o F=q − φ−ξ ∂A ˙ +ξ r× ∂t ×A

Un poco de algebra vectorial permite convertir esta ecuaci´n en o Fx = q − ∂ d ˙ (φ − ξ r × A) − ξ ∂x dt ∂ (˙ × A) r ∂x ˙

con expresiones similares para las componentes x e y. Como el potencial escalar es independiente de la velocidad, esta expresi´n es equivalente a o Fx = donde ˙ V = qφ − ξq r × A Por lo tanto, el Lagrangiano de una part´ıcula cargada en un campo electromagn´tico es e ˙ L = T − qφ + ξq r × A
Las otras dos leyes son la denominada Ley de Poisson y la Ley de Ampere. Ambas dependen de las cargas y corrientes que generan el campo 2 Sin embargo los potenciales no est´n completamente definidos por estas ecuaciones. En a particular E y B quedan inalterados ante una sustituci´n de A por A + ψ y φ por φ − ξ∂ψ/∂t, o con ψcualquier campo escalar. Esta propiedad se denomina invariancia de gauge o de medida y nos permite imponer una condici´n adicional sobre A. Por ejemplo, podemos pedir que .A = 0, o condici´n que se llama de gauge coulombiano o transversal. Cuando A satisface esta elecci´n o o de gauge, φ = 0 y con ello resulta E = −ξ∂A/∂t y B = × A.
1

d dt

∂V ∂x ˙

−

∂V ∂x

17.2. Potenciales noinerciales

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17.2

Potenciales no inerciales

Consideremos las tres fuerzas ficticias que se incorporan en las ecuaciones de movimiento cuando se lo basa en un sistema de referencia no inercial de velocidad angular ω d2 r = F + Fcoriolis + Fcentr´ m 2 ıfuga + Faceleraci´n o dt O donde Fcoriolis Fcentr´ ıfuga Faceleraci´n o ˙ = −2 m ω × r = − m ω × (ω × r) ˙ = mr × ω Fuerza de Coriolis Fuerza...