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1. SISTEMAS Y CÓDIGOS DE NUMERACIÓN

1. SISTEMAS Y CÓDIGOS DE NUMERACIÓN I TEORÍA
1 INTRODUCCIÓN
Los sistemas digitales funcionan bajo el control de variables que sólo pueden tener dos valores (variables binarias). Por lo general durante el control de dichos sistemas deben realizarse una serie de operaciones, por lo que será necesario utilizar sistemas y códigos de numeración binarios. Dadoque nuestro sistema ordinario es el decimal, deberemos estudiar distintos sistemas y códigos de numeración que faciliten la codificación en binario.

2 SISTEMAS DE NUMERACIÓN
2.1 GENERALIDADES
Cualquier número N en un sistema de base b puede expresarse mediante un polinomio de potencias de la base, multiplicadas por el dígito perteneciente al sistema. Esto es: N = anbn + an-1bn-1 + an-2bn-2 +... + aibi + ... + a1b1 + a0b0 + anbn + a-1b-1 + ... + a-jb-j donde b es la base del sistema y ai el dígito de peso i perteneciente al sistema. Así, el número 1492,36 en decimal, puede expresarse como: 1492,36 = 1·103 + 4·102 + 9·101 + 2·100 + 3·10-1 + 6·10-2 De igual modo el número 100110,101 en binario se expresará por el binomio: 100110,101 = 1·25 + 0·24 + 0·23 + 1·22 +1·21 + 0·20 +1·2-1 + 0·2-2+ 1·2-3

2.2 SISTEMAS BINARIO, OCTAL Y HEXADECIMAL
El sistema binario es el más empleado en los sistemas digitales puesto que sólo tiene dos dígitos para expresar cualquier valor. El interés de los sistemas octal (base 8) y hexadecimal (base 16) proviene de su fácil conversión de números en estas bases a binario y viceversa, como veremos más adelante (más información en [WB_Enlace_1_1] y en[WB_Link_1_1] ). En la tabla siguiente se muestra la equivalencia entre los dieciséis primeros números de dichos sistemas y el decimal. Dec Bin Oct He x
0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 10 0 4 4 5 10 1 5 5 6 11 0 6 6 7 11 1 7 7 8 100 0 10 8 9 100 1 11 9 10 101 0 12 A 11 101 1 13 B 12 110 0 14 C 13 110 1 15 D 14 111 0 16 E 15 1111 17 F

Cuando se trabaja en varios sistemas se suele poner unsubíndice que identifique la base, 5

1. SISTEMAS Y CÓDIGOS DE NUMERACIÓN 158,610 1011,68 1B5,8C16 1011,1012

Es muy común que los números hexadecimales también se indiquen poniendo una hache mayúscula o minúscula al final del número o el símbolo 0x delante del mismo ( 12AH, 12Ah o 0x12A serán distintas formas de indicar 12A16). La conversión de un número en cualquiera de estas tres bases endecimal se realiza fácilmente representando el número en forma de polinomio y operando en decimal: 1011,68 = 1·83+0·82+1·81+1·80+6·8-1 = 512+8+0,75 = 520,7510 1B5,8C16 = 1·162+11·161+5·160+8·16-1+12·16-2 = 256+176+5+0,5+0,046875 = 437,54687510 1011,1012 = 1·23+0·22+1·21+1·20+1·2-1+0·2-2 + 1·2-3 = 8+2+1+0,5+0,125 = 11,62510 El proceso inverso debe realizarse en dos fases: una para la parte entera yotra para la fraccionaria. Matemáticamente se demuestra [Malvino 1.3] que: 1º) Si se divide un número entero expresado en la base b1 por la base b2, y el cociente se vuelve a dividir por b2 y así sucesivamente, el último cociente y los restos obtenidos equivalen al número en base b2. 2º) Si se multiplica un número fraccionario N en base b1 por la base b2, la parte entera representa la cifra mássignificativa en base b2. Si la parte fraccionaria del resultado se vuelve a multiplicar por b2 se obtiene la segunda cifra significativa en base b2. Continuando el proceso se obtienen todas las cifras del fraccionario en base b2 de N. Vamos a pasar el número decimal 149,175 a binario, octal y hexadecimal, aplicando el método anterior. Binario: 149,17510 = 1010001,00101102
Cociente Resto

149 : 2 74: 2 37 : 2 18 : 2 9 :2 4 :2 2 :2

74 37 18 9 4 2 1

1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1

0,175 · 2 = 0,350 · 2 = 0,700 · 2 = 0,400 · 2 = 0,800 · 2 = 0,600 · 2 = 0,200 · 2 = 0,400 · 2 =

0 0 1 0 1 1 0 0

,350 ,700 ,400 ,800 ,600 ,200 ,400 ,800

Inicio del período Final del período

Octal: 149,17510 = 225,131468
Cociente Resto

149 : 8 18 : 8

18 2

5 2 2 2 5

0,175 · 8 = 0,400...