Ecuaciones diferenciales parciales

LISTA DE EJERCICIOS # 3
MAT - 024

η

ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

1.-Determine las superficies integrales de :

x 2 uux = uy
Que pasan a través de la parábola : x = t, y = 0, u = t2. 2.-Discuta el problema : con las condiciones iniciales (a) u(x, x2) = 1 (b) u(x, x2) = x3/3 + 20 para -1 < x < 1 para -1 < x < 1. u x + 2xuy = y

¿ Cuantas soluciones existen en cada caso ? 4.- Encontrarla superficie integral de la ecuación. (x - y)y2ux + (y - x)x2uy = ( x2 + y2)u que pasa por la curva xu = 9 , y = 0. 5.y u x– x u y = y

6.- Encontrar la superficie integral de la ecuacion. 2xyux -(y2 + x2 -1)u y = 0

tal que u(x, 0) = 0.

7.- Resolver

u xy + u x + x + y + 1 = 0

para x > 0 , y > 0 con u(x,0) = x2 , u(0,y) = y. 8.- Encontrar la superficie integral de la ecuación. (x+ y +5u)u x + 4uu y + x + y + u = 0 que pasa por la curva u = 0 , y2 + x2 = 1. 9.- En un problema de rotación de fluido se requiere que una función u(x, t) sea encontrada en una región 0 < x < a , t >0 , tal que satisfaga : ux - ( 1 - (u / t))(tu)t = 0 u(x,0)= 0 , u(a, t ) = a Discuta la naturaleza de la solución cerca del punto x = a, t = 0.

FORMA CANONICA

1.- Clasificar (a) (x2 - 1)u xx +2yuxy - uyy = 0 (b) 2uxy + uxx + 5uyy = 0 (c) 2uxy + 3uyy = 0 2.- Resolver uxx - 2uxz - 18uz + 9ux = 0 , u(0, z) = 1 , ux(0, z) = 0.

3.- uxx - 2uxy - 8uyy + 9ux = 0

4.- Probar que latransformación z = y - (x2/2) , s = x reduce la ec u xx + 2xuxy + x2uyy = 0 , a la ec . de calor u z = u s s 5.- Resolver en una vecindad de (x, y ) = ( 0, 0 ) 2xuyy + 2uxx - 8uxy = (|4 – x | )-1/2 u y u(0,y)= 0 , ux(0,y ) = 1

¿ Discuta como se pueden obtener las soluciones en la vecindad de (6,6)? No la obtenga , solo explique con claridad 5,5)? No la obtenga , solo explique con claridad.. 6.-Determine todas las soluciones del problema :

y 2 u yy + 2 xyu xy + x 2 u xx = 0 talque u y ( x ,1) = x , u( x ,1) = 0.
7.- Pruebe que la solución de la ecuación de onda unidimensional utt - c2uxx = 0...