Metodo De Euler Para Resolver Ecuaciones Diferenciales

Páginas: 6 (1267 palabras) Publicado: 14 de julio de 2011
Método de Euler

Explicito

La primera derivada ofrece una estimación directa de la pendiente en xi

y`= ∅=f(xi,yi)

Donde fxi,yi es la ecuación diferencial evaluada en xi y yi. La estimación se sustituye en la ecuación:

yi+1=yi+fxi,yih

Esta fórmula se conoce como método de Euler (o de Euler-Cauchy o de punto pendiente). Se predice un nuevo valor de y usando la pendiente (igual ala primera derivada en el valor original de x ) para extrapolar linealmente sobre el tamaño de paso h.

xi
xi+1
h
x
y
Predicho

Verdadero
error

Implícito

El método de Euler hacia atrás es una método implícito, lo que significa que tenemos que resolver una ecuación para encontrar y i +1. A menudo se utiliza iteración de punto fijo o (algunas modificaciones de) el método deNewton-Raphson para lograrlo. Por supuesto, los costos de tiempo para resolver esta ecuación, el costo debe tenerse en cuenta cuando se selecciona el método a utilizar. La ventaja de los métodos implícitos es que son generalmente más estables para la solución de una ecuación rígida, lo que significa que un mayor tamaño de paso h puede ser utilizado.

yi+1=yn+hf(xi+1,yi+1)

La forma implícitaes incondicionalmente estable, que ofrece una precisión de segundo orden mundial con una estabilidad que está en medio de Euler y la regla trapezoidal. Este método debe ser útil para los problemas de rigidez, y, en particular, debería servir como una mejora en el método de Crank-Nicolson bien conocida para las ecuaciones en derivadas parciales.
Método de Euler Mejorado(predictor-corrector)
Un método para mejorar la estimación de la pendiente emplea la determinación de dos derivadas en el intervalo (una en el punto inicial y otra en el final). Las dos derivadas se promedian después con la finalidad de obtener una mejor estimación de la pendiente en todo el intervalo.
Recordamos que en el método Euler, la pendiente al inicio de un intervalo:
y'i=f(xi,yi)(25.12)
Se utiliza para extrapolar linealmente a yi+1:
yi+1o=yi+fxi,yih (25.13)
En el método estándar de Euler debería parar aquí. Sin embargo, en el método de Heun la y°i+1 calculada en la ecuación (25.13) no es la respuesta final, sino unapredicción intermedia. Por consiguiente, la distinguimos con un superíndice 0. La ecuación (25.13) se llama ecuación predictora o simplemente predictor. Da una estimación de yi+1 que permite el cálculo de una estimación de la pendiente al final del intervalo:
y'i+1=f(xi+1, yi+1o) (25.14)
Así, se combinan las dospendientes [ecuaciones (25.12) y (25.14)] para obtener una pendiente promedio en el intervalo:
y'=y'i+y'i+12=fxi,yi+f(xi+1,y°i+1)2
Esta pendiente promedio se utiliza después para extrapolar linealmente desde yi hasta yi+1 con el método de Euler:
yi+1=yi+fxi,yi+f(xi+1,yi+1o)2h
Que se conoce como ecuación correctora o simplemente corrector.
El método de Heun es un procedimientopredictor-corrector. Como se desarrollo antes, se expresa en forma concisa como:
Predictor → y°i+1=yi+fxi,yih
Corrector → yi+1=yi+fxi , yi+f(xi+1 , y°i+1)2h (25.16)
Observe que debido a que en la ecuación (25.16) aparece yi+1 a ambos lados del signo igual, entonces se puede aplicar en una forma iterativa. Es decir, una estimación anterior se utilizará de manerarepetida para proporcionar una estimación mejorada de yi+1.
Pendiente=f(xi+1, yi+1o)
Pendiente=f(xi,yi)
Pendiente=fxi,yi+f(xi+1, yi+1o)2
xi
xi+1
y
x
y
x
xi
xi+1
a) Predictor b) Corrector

The backward Euler method is an implicit method, meaning that we have to solve an equation to find y n +1 . En resumen:
Se quiere resolver el siguiente...
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