Eliminacion gaissiana

Universidad de Colima
Facultad de Ingeniería Electromecánica
Ingeniero en Comunicaciones Y Electrónica

Método: Eliminación Gaussiana

Métodos Numéricos: Eduardo Hernández Barón
gonzalez cortez salvador
2°B
31/03/2011

ELIMINACION GAUSSIANA

El método de eliminación Gaussiana para la solución de sistemas de ecuaciones lineales consiste en convertir a través de operaciones básicasllamadas operaciones de renglón un sistema en otro equivalente más sencillo cuya respuesta pueda leerse de manera directa. El método de eliminación Gaussiana es el mismo para sistemas de ecuaciones 2×2, 3×3, 4×4 y así sucesivamente siempre y cuando se respete la relación de al menos una ecuación por cada variable.
Es decir este método propone la eliminación progresiva de variables en el sistemade ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.
Cuyas operaciones que se pueden aceptar sobre una matriz son las siguientes 3
1. Intercambiar dos renglones. (Ya que corresponde a reordenar  las ecuaciones del sistema).
2. Multiplicar todos los elementos de un renglónpor una misma constante.
3. Sumar a los elementos de un renglón los correspondientes elementos de otro multiplicados por una constante.
Pasos para la eliminación Gaussiana

Eliminación hacia adelante: Esta fase reduce el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular Superior:
Paso 1: Consiste en dividir la primera ecuación por el coeficiente de la primera incógnita aii (coeficiente pivote).A este procedimiento se le conoce como normalización.
Paso 2: Después se multiplica la ecuación normalizada por el primer coeficiente de la segunda ecuación.
Paso 3: Nótese que el primer termina de la primera ecuación es idéntico al primer término de la segunda. Por lo tanto, se puede eliminar, la primera incógnita de la segunda ecuación restando la primera a la segunda.
Paso 4: Repetir el paso2 y 3 hasta eliminar la primera incógnita de todas las ecuaciones restantes.
Estos 4 pasos se repiten tomando como pivotes las ecuaciones restantes hasta convertir el sistema en una matriz triangular superior.
Otra forma de entender la eliminación Gaussiana tendríamos es la siguiente:
Fila (r)=Filar – (mrq)(fila (q))
r=filas
q=elementos
m=arq/aqq
en la matriz : m=a21a11
a11 a12a13a21 a22 a23a31 a32 a33 fala (a21)=fila(a21)-(m)(fila(a11)) esto claro considerando que se hace a toda la fila y a cada termino, termino por termino, esto sin omitir que para cada fila tendremos una nueva m:

Un ejemplo de la resolución por el método de eliminación gaussiana
Si tenemos el sistema
x + 2y + 3z = 1
4x + 5y + 6z= −2
7x + 8y + 10z = 5
Su matriz aumentada seria 1 234 5 67 8 101-25

Donde cada ecuación representa un renglón y las variables iguales de las 3 ecuaciones representan las columnas 1, 2 y 3 respectivamente.

Usando el método de eliminación Gaussiana.
Solución:
Para simplificar las operaciones se retiran las variables y se mantienen exclusivamente los coeficientes de cada una, el signo de igual también es eliminado pero se mantienen losdatos del lado derecho de la ecuación.
Quedando como sigue:
Diagonal principal
La diagonal principal de la matriz busca quede conformada por solo unidades (1) la parte inferior a la diagonal debe quedar en ceros. Esto se hace utilizando las operaciones básicas de renglón para las ecuaciones, de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha.
Multiplico la ecuación 1 por −4 y la resto de laecuación 2, de igual forma la multiplico por −7 y la resto de la 3 obteniendo.
Después divido la ecuación 2 (renglón 2) entre −3 para hacer el componente de la diagonal principal 1 quedando como sigue:
Multiplico la ecuación 2 (renglón 2) por 6 y lo sumo a la ecuación 3 (renglón 3).
Una vez lograda la diagonal principal formada por unidades y los datos por debajo de la diagonal principal...