Eliminacion Gaussiana
Páginas: 6 (1377 palabras)
Publicado: 13 de julio de 2011
Eliminación Gaussiana
Introducción
En este trabajo veremos uno de los métodos para desarrollar un sistema de ecuaciones lineales, como es la eliminación gaussiana, el cual fue concebido originalmente por los matemáticos chinos del siglo II a.C. y aplicado posteriormente por Gauss.
Este método se aplica directamente a la matriz aumentada del sistema para originar una matriz triangularequivalente al sistema inicial y así poder encontrar los valores de las variables.
Antecedentes históricos
Los primeros rudimentos de lo que hoy conocemos como Álgebra lineal se han encontrado en el documento matemático más antiguo que ha llegado hasta nuestros días: el papiro Rhind, conservado en el British Museum con algunos fragmentos en el Brooklyn Museum, y conocido también como el Librode Cálculo, el cual fue escrito por el sacerdote egipcio Ahmés hacia el año 1650 a.C. y exhumado en Tebas en 1855. En este valioso documento se consideran las ecuaciones de primer grado, donde la incógnita aparece representada por un “ibis" que significa escarbando en el suelo, posiblemente por su primogénita aplicación a la agrimensura. Este documento contiene 85 problemas redactados en escriturahierática y fue concebido originalmente como un manual práctico para los no iniciados. Según el propio
Ahmés, este texto es una copia de uno más antiguo (2000-1800 a.C.), algunos de cuyos documentos proceden quizá de períodos más antiguos.
Los babilonios sabían como resolver problemas concretos que involucraban ecuaciones de primer y segundo grado, usando completación de cuadrados o sustitución,así como también ecuaciones cúbicas y bicuadráticas, y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales tales como:
[pic] , [pic] y [pic]
Un ejemplo concreto de una tal situación ha llegado hasta nuestros días en una de las famosas tablillas de Croquetta, que datan del último período sumerio hacia el año 2100 a.C., es el siguiente problema:
Existen dos campos cuyas áreas suman 1800yardas cuadradas. Uno produce granos en razón de 2/3 de saco por yarda cuadrada, mientras que el otro produce granos en razón de 1/2 saco por yarda cuadrada. Si la producción total es de 1100 sacos, ¿cuál es el tamaño de cada campo?"
Por su parte, los matemáticos chinos durante los siglos III y IV a.C. continuaron la tradición de los babilonios y nos legaron los primeros métodos del pensamientolineal. Por ejemplo, en el tratado Nueve capítulos sobre el Arte Matemático, publicado durante la Dinastia Han, aparece el siguiente sistema lineal:
[pic]
Así como un método para su resolución, conocido como la regla “fan-chen", la cual, en esencia, es el conocido método de eliminación gaussiana de nuestros días. Es interesante recordar el problema que dio origen a este sistema lineal, elcual es similar al planteado por los babilonios:
“Hay tres clases de granos; tres gavillas de primera clase, dos de la segunda clase y una de la tercera hacen 39 medidas; dos de la primera, tres de la segunda y una de la tercera hacen 34 medidas; y una de la primera, dos de segunda y tres de la tercera hacen 26 medidas. ¿Cuántas medidas de granos están contenidas en una gavilla de cada clase?"Esta obra Nueve capítulos sobre el Arte Matemático fue compuesta por el hombre de estado y científico Chuan Tsanom en el año 152 a.C. y en el se incluyeron sistemáticamente todos los conocimientos matemáticos de la época. Es oportuno recordar que esta obra fue consultada por Carl Friederich Gauss (1777-1855) en un estudio sobre la órbita del asteroide Pallas. Usando observaciones de Pallas,tomadas entre los años 1803 y 1809, Gauss obtiene un sistema de seis ecuaciones lineales con seis incógnitas y da un método sistemático para resolver tales ecuaciones, hoy día conocido como eliminación gaussiana.
Algoritmo de eliminación gaussiana
El Algoritmo de Gauss o de Eliminación gaussiana consta de los siguientes pasos:
1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero....
Introducción
En este trabajo veremos uno de los métodos para desarrollar un sistema de ecuaciones lineales, como es la eliminación gaussiana, el cual fue concebido originalmente por los matemáticos chinos del siglo II a.C. y aplicado posteriormente por Gauss.
Este método se aplica directamente a la matriz aumentada del sistema para originar una matriz triangularequivalente al sistema inicial y así poder encontrar los valores de las variables.
Antecedentes históricos
Los primeros rudimentos de lo que hoy conocemos como Álgebra lineal se han encontrado en el documento matemático más antiguo que ha llegado hasta nuestros días: el papiro Rhind, conservado en el British Museum con algunos fragmentos en el Brooklyn Museum, y conocido también como el Librode Cálculo, el cual fue escrito por el sacerdote egipcio Ahmés hacia el año 1650 a.C. y exhumado en Tebas en 1855. En este valioso documento se consideran las ecuaciones de primer grado, donde la incógnita aparece representada por un “ibis" que significa escarbando en el suelo, posiblemente por su primogénita aplicación a la agrimensura. Este documento contiene 85 problemas redactados en escriturahierática y fue concebido originalmente como un manual práctico para los no iniciados. Según el propio
Ahmés, este texto es una copia de uno más antiguo (2000-1800 a.C.), algunos de cuyos documentos proceden quizá de períodos más antiguos.
Los babilonios sabían como resolver problemas concretos que involucraban ecuaciones de primer y segundo grado, usando completación de cuadrados o sustitución,así como también ecuaciones cúbicas y bicuadráticas, y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales tales como:
[pic] , [pic] y [pic]
Un ejemplo concreto de una tal situación ha llegado hasta nuestros días en una de las famosas tablillas de Croquetta, que datan del último período sumerio hacia el año 2100 a.C., es el siguiente problema:
Existen dos campos cuyas áreas suman 1800yardas cuadradas. Uno produce granos en razón de 2/3 de saco por yarda cuadrada, mientras que el otro produce granos en razón de 1/2 saco por yarda cuadrada. Si la producción total es de 1100 sacos, ¿cuál es el tamaño de cada campo?"
Por su parte, los matemáticos chinos durante los siglos III y IV a.C. continuaron la tradición de los babilonios y nos legaron los primeros métodos del pensamientolineal. Por ejemplo, en el tratado Nueve capítulos sobre el Arte Matemático, publicado durante la Dinastia Han, aparece el siguiente sistema lineal:
[pic]
Así como un método para su resolución, conocido como la regla “fan-chen", la cual, en esencia, es el conocido método de eliminación gaussiana de nuestros días. Es interesante recordar el problema que dio origen a este sistema lineal, elcual es similar al planteado por los babilonios:
“Hay tres clases de granos; tres gavillas de primera clase, dos de la segunda clase y una de la tercera hacen 39 medidas; dos de la primera, tres de la segunda y una de la tercera hacen 34 medidas; y una de la primera, dos de segunda y tres de la tercera hacen 26 medidas. ¿Cuántas medidas de granos están contenidas en una gavilla de cada clase?"Esta obra Nueve capítulos sobre el Arte Matemático fue compuesta por el hombre de estado y científico Chuan Tsanom en el año 152 a.C. y en el se incluyeron sistemáticamente todos los conocimientos matemáticos de la época. Es oportuno recordar que esta obra fue consultada por Carl Friederich Gauss (1777-1855) en un estudio sobre la órbita del asteroide Pallas. Usando observaciones de Pallas,tomadas entre los años 1803 y 1809, Gauss obtiene un sistema de seis ecuaciones lineales con seis incógnitas y da un método sistemático para resolver tales ecuaciones, hoy día conocido como eliminación gaussiana.
Algoritmo de eliminación gaussiana
El Algoritmo de Gauss o de Eliminación gaussiana consta de los siguientes pasos:
1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero....
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