Elipse

ELIPSE
Definición. Una elipse es el conjunto de puntos del plano tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del mismo plano es siempre constante, mayor que la distancia entre los dos puntos (2a, con [pic]).
Los puntos fijos se llaman focos de la elipse.
Elementos: A1
Eje focal: Focos
[pic]: Eje focal
[pic]: Vértices
[pic]: Eje mayor.
C: centro. A2
[pic]: Eje normal.
[pic]:Eje menor.
[pic] : Cuerda. [pic]
[pic] : Cuerda focal.
[pic] : Lado recto.
[pic] : Diámetro.
[pic] Radios vectores.
[pic]: rectas directrices.

Ejercicio. Hallar la ecuación del lugar geométrico de punto que se mueve en el plano tales que la suma de sus distancias a los puntos [pic] es siempre igual a 5.

Casos particulares.
1. Ecuación de la elipse de centro en el origen decoordenadas y ejes coincidentes con los ejes de coordenadas.
1.1 Eje focal el eje X. [pic] es el punto medio del segmento [pic].
Coordenadas de los focos [pic] c: constante positiva.
Sea [pic] un punto cualquiera de la elipse. Por definición de elipse, el punto P debe satisfacer la condición geométrica
[pic]
[pic]
[pic]
Desarrollando ysimplificando se tiene[pic]
Como [pic]
Haciendo [pic] se tiene [pic],
Dividiendo por [pic] se tiene

Analizando la ecuación se tiene que [pic] son las intercepciones con el eje X, entonces Vértices: [pic]
La longitud del eje mayor es igual a 2a.
Los intercepto con el eje Y son [pic], la longitud del eje menor 2b.
Longitud del lado recto es igual a [pic].
Excentricidad (e): sedefine como la razón [pic].
[pic] ( 1
Directrices: [pic]
1.2 Eje focal el eje Y. En este caso las coordenadas de los focos son [pic]. Siguiendo el mismo procedimiento anterior, se tiene que la ecuación de la elipse es:

Estas ecuaciones se llaman primeras ecuaciones ordinarias de la elipse.

2. Ecuación de la elipse de centro (h, k) y ejesparalelos a los ejes de coordenadas.
2.1 Eje focal paralelo al eje X.
Coordenadas de los focos:
[pic]
Coordenadas de los vértices:
[pic]
[pic]
2.2 Eje focal paralelo al eje Y.
Coordenadas de los focos:
[pic]
Coordenadas de los vértices:
[pic]

A estas ecuaciones se les llama generalmente segundas ecuaciones ordinarias de laelipse.
Desarrollando cualquiera de estas dos ecuaciones tenemos una ecuación de la forma:
[pic]
Donde A y C deben ser del mismo signo.

Propiedades.
1. La tangente a la elipse [pic]en cualquier punto [pic]de la curva esta dada por la ecuación: [pic]
2. Las: ecuaciones de las rectas tangentes de pendiente m a la elipse [pic] están dadas por [pic]
3. La normal a una elipse enuno cualquiera de sus puntos biseca al ángulo formado por los radios vectores en ese punto.
Teorema: La ecuación general de segundo grado,

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Sea el discriminante: ( = B2 – 4AC , entonces

Si ( < 0, la ecuación representa una ELIPSE

Si ( = 0, la ecuación representa una PARABOLA

Si ( > 0,la ecuación representa una HIPÉRBOLA

HIPERBOLA

Definición. Hipérbola, es el lugar geométrico de todos los puntos [pic] del plano, con la propiedad de que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos del mismo plano llamados focos es constante.

[pic]
[pic], de aquí suprimiendo el paréntesis, transponiendo términos y simplificando, setiene [pic], luego elevando al cuadrado y simplificando [pic]
Si [pic] [pic], dividiendo por [pic]

[pic]

Hipérbola de eje focal paralelo al eje X.

La ecuación ordinaria de la hipérbola con centro [pic] y con eje focal paralelo al eje X, esta dado por [pic]
Focos: [pic]
Vértices: [pic]
Ecuación del eje focal:...