elipse

Ecuaciones de la elipse
En coordenadas cartesianas
x2 + xy + y2 = 1
Forma cartesiana centrada en el origen

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse

es horizontal, sies al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2εa, siendo ε la excentricidad y a el semieje mayor.Forma cartesiana centrada fuera del origen

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:

\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2} = 1

En coordenadas polaresForma polar centrada en origen

En coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:

(epc 1) r(\theta)=\frac{1}{\sqrt{\cfrac{\cos^2\theta}{a^2}+\cfrac{\sin^2\theta}{b^2 } }}

Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la excentricidad \scriptstyle \varepsilon \to \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} ), es:

(epc 2)r (\theta)=\frac{b}{\sqrt{1-\varepsilon ^2 \cos ^2(\theta )}}

Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse, θ es el ángulo polar y para la (epc 2) ε es la excentricidad.

Si no sequiere pre-calcular la excentricidad \scriptstyle \varepsilon \to \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} convendrá utilizar la ecuación (epc 1), en caso contrario utilizar la ecuación (epc 2).
Formas polarescentradas en un foco
Coord. polares sobre un foco.

En coordenadas polares, con el origen en el foco F2, la ecuación de la elipse es:

(501)r(\theta) =\frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}

Para el foco F1:

(502)r(\theta) = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1-\varepsilon\cos\theta}

"Semi-latus rectum" (en verde) de la elipse.

En el caso un poco más general de una elipse...