Elipse

GEOMETRÍA ANALÍTICA

LA ELIPSE
CONTENIDO
1. Ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen
1.1 Análisis de la ecuación

2. 3. 4.

Lado recto Excentricidad de la elipse Ecuación de la elipse vertical con centro en el origen
4.1 Ejercicios

5. 6. 7. 8. 9.

Ecuación de la elipse horizontal con centro fuera del origen Ecuación de la elipse vertical con centro fuera del origenForma general de las ecuaciones de las elipses horizontal y vertical fuera del origen Posición general de la elipse y su ecuación Ejercicios

Una elipse es la curva que se obtiene interceptando un cono circular recto y un plano: Si el plano está inclinado y no es paralelo a una de sus generatrices y corta a una sola rama del cono, como se ve en la Figura 1. La generatriz de una superficiecónica es una recta fija en uno de sus puntos con uno de sus extremos describiendo una circunferencia plana. DEFINICIÓN. Por definición la elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, participantes de la propiedad relativa: que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Los dos puntos son conocidos como focos de la elipse, mientras que la constante serárepresentada por 2a, como se ve en la Figura 2.

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1.

Ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen.

Observando la Figura 2 se tiene: La condición de movimiento del punto M(x, y), dada por la definición es:

M F 1 + M F 2 = Constante = 2 a................................................................................... (1)
Aplicando la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos, se tiene:

M F1 =

( x+c ) + y

2

2

y M F2 =

( x-c ) +y

2

2

De modo que al sustituir en (1) queda: ( x+c ) + y + ( x - c ) + y =2a Despejando al segundo radical: ( x - c ) + y =2a 2 2 2 2 2 2

( x+c ) + y

2

2Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad y desarrollando, tendremos:
2 2 2 x -2c x+c + y =4a - 4a Reduciendo: 2

(x + c ) + y

2

2

+ x2+2c x+c 2 + y

2

4a (x + c) 2 + y 2 = 4a 2 + 4cx
Dividiendo entre 4, se tiene:

a (x + c) 2 + y 2 = a 2 + cx

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Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad y reduciendo:
2 2 2 a x +2 a c x+a 2 2 a x -c 2 2 2 2 2 2 4 c +a y =a +2a c x+c 2 2 2

x

2

2 2 4 2 x +a y =a -a c

Factorizando:
(a 2-c
2

) x 2 + a 2 y = a 2 ( a 2 - c 2 ) .........................................................................(2)

2

Con el fin de transformar más todavía esta ecuación, recordemosque en todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos, lo que aplicado al triángulo F1MF2 de nuestra Figura 2, produce que:

M F1 + M F 2 > F 1 F 2
Sustituyendo: a + a >2c Por tanto: 2a>2c Dividiendo entre 2 y elevando al cuadrado:

a >c
2 a >c 2

Rearreglando:
2 2 a -c >0

La última desigualdad nos dice, que la diferencia a2-c2, es constante y positiva, de tal maneraque podemos representarla por b2, puesto que la letra b representa comúnmente una constante y el exponente 2 garantiza que es positiva, o sea:
2 2 a - c =b 2

Por lo tanto, la ecuación (2) de la elipse se transforma en:
2 2 2 2 2 b x + a y = a b ..................................................................................................(I) 2

Cuya ecuación también puede expresarse enla siguiente forma llamada simétrica o normal, la cual se obtiene dividiendo ambos miembros entre a2b2:

b x a b
2

2

2 2

+

2 a y

2 2

a b

2

=

a b a b
2

2

2 2

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Simplificando:

x a

2 2

+

y b

2 2

= 1...