Elipsoide

Superficies cuadráticas
Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.
 
|  | Definición  (superficies cuadráticas) |
| |La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables  |
| |[pic]|
| |se conocen como superficies cuadráticas, salvo casos degenerados. |
| |  |

Observación: en la ecuación de segundo grado [pic] deliberadamente no hemos incluido los términosmixtos [pic], [pic] y [pic], pues la presencia de estos genera superficies con rotación, tema que no trataremos en el curso
[pic] Elipsoide
La gráfica de la ecuación: 
[pic]
corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en [pic]), [pic] y [pic] .La traza del elipsoide sobre cada uno de los planoscoordenados es un único punto (! ) o una elipse. La figura 1 muestra su gráfica.

[pic]
Figura 1. Elipsoide
 [pic] Paraboloide elíptico
La gráfica de la ecuación 
[pic]
es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales [pic] son elipse : 
[pic]
Sus trazas sobre planos verticales, ya sean [pic] o [pic] son parábola. 
[pic]
Figura 2. Paraboloide elíptico
[pic] Paraboloidehiperbólico
La gráfica de la ecuación: 
[pic]
es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos horizontales[pic] son hipérbolas o dos rectas  ([pic]). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano [pic] son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano [pic] son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de unasilla de montar, como se observa en la figura 3.
[pic]
Figura 3. Paraboloide  hiperbólico
[pic] Cono elíptico
La gráfica de la ecuación: 
[pic]

es un cono elíptico.Sus trazas sobre planos horizontales [pic] son elipses.Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas.Su gráfica se muestra en la figura 4. 
 
[pic]
Figura 4. Cono elíptico
[pic] Hiperboloidede una hoja
La gráfica de la ecuación: 
[pic]
es un hiperboloide de una hoja.Sus trazas sobre planos horizontales [pic]son elipses 
[pic]
Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas que se intersecan (!). Su gráfica se muestra en la figura 5.
.
[pic]
Figura 5. Hiperboloide de una hoja
[pic] Hiperboloide de dos hojas
La gráfica de la ecuación: 
[pic]

es unhiperboloide de dos hojas.Su gráfica consta de dos hojas separadas.Sus trazas sobre planos horizontales [pic] son elipses y sobre planos verticales son hipérbolas (figura 6).

[pic]
Figura 6. Hiperboloide de dos hojas
Ejemplo 1
Identifique cada una de las siguiente superficies cuadráticas: 
a.) [pic] 
b.) [pic]
Solución
a.) Dividiendo por 4 la primera ecuación obtenemos: 
[pic]
lo cualcorresponde a un hiperboloide de dos hoja, con el eje [pic] como eje de simetría. 
b.) Completando el cuadrado en [pic] para la segunda superficie obtenemos : 
[pic]
que corresponde a un paraboloide elíptico con eje paralelo al eje [pic]. 

Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, son originadas por planos que contienendos ejes cartesianos.
En matemáticas, es una cuádrica análoga a la elipse, pero en tres dimensiones.
Un elipsoide se obtiene al «deformar» una esfera, mediante una transformación homológica, en la dirección de sus tres diámetros ortogonales.
Ecuación cartesiana de un elipsoide
La ecuación de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es:
[pic]...