Ensayo 1

Calificación del Riesgo Mediante Modelos Lineales Generalizados.
Alfonso Castro B. alfonso.castro@epn.edu.ec, castro.alfonso@hotmail.com Escuela Politécnica Nacional Quito-Ecuador January 18, 2013

Abstract Uno de los problemas principales para las instituciones crediticias es la evaluación del riesgo de que un potencial cliente no pague el préstamo. Esta valoración se la puede realizar pordiferentes métodos, uno de ellos es el que ofrecen los modelos lineales generalizados, más precisamente los modelos para respuestas binarias, mediante estos podemos evaluar la probabilidad de incumplimiento en función de ciertos factores de riesgos. Presentaremos brevemente los modelos lineales generalizados y su aplicación al microcrédito de una mutualista pequeña.

1. Los modelos linealesgeneralizados
Clásicamente un modelo lineal tiene la forma yi = xt β + ui i donde xt = (1, xi2 , . . . , xip ) es el vector de diseño, β el vector de parámetros y ui .es i el error. Se supone que los errores son independientes y siguen una ley normal 1

de parámetros (0, σ 2 ), esto implica que yi es una variable aleatoria continua que toma valores en todo R con distribución normal de parámetros (xtβ, σ 2 ). Pero i hay muchas situaciones en las cuales este supuesto no es aplicable. Uno de ellos es cuando Y es una variable binaria, es decir una variable que toma dos valores uno y cero. Por ejemplo: Y es una variable que toma el valor uno cuando un cliente incurre en mora y cero en el caso contrario. En los modelos lineales generalizados no se adiciona el error, las hipótesis se las formuladirectamente sobre las {yi }, la distribución de probabilidad no se limita a la normal y la media µi = E(yi ) es una función de xt β. i 1.1. Familia exponencial Sea Y una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad depende de un parámetro escalar θ, y sea f(y; θ) la función de frecuencias (caso discreto) o la función de densidad (caso continuo). Definición 1. Se dice que la distribución deprobabilidad es de la familia exponencial de un solo parámetro θ si y solo si se puede escribir en la forma f (y, θ) = exp Donde: • b y c son funciones conocidas, • θ y φ son parámetros. θ se denomina parámetro natural del modelo y es un parámetro de localización, mientras que φ es un parámetro de dispersión o de escala, • p es un peso, su valor es uno para datos no agrupados. • A es un conjunto queno depende de θ. Las leyes: Bernoulli, binomial, Poisson, normal y gamma son leyes de la familia exponencial. A manera de ejemplo veamos la ley binomial de parámetros (n, p) yθ − b (θ) p + c(y, φ, p) φ y∈A (1)

Ejemplo 2. La ley binomial de parámetros (n, p) es f (y, p) = Cy py (1 − p)n−y n con la notación exponencial f (y, p) = exp [y ln (p) − y ln (1 − p) + n ln (1 − p) + ln (Cy )] n p = expy ln + n ln(1 − p) + ln (Cy ) n 1−p el parámetro natural es θ = ln
p 1−p

y = 0, 1, 2, . . . , n

. En función del parámetro natural se tiene

f (y; θ) = exp yθ − n ln(1 + eθ ) + ln (Cy ) n en consecuencia: b(θ) = n ln(1 + eθ ), p = 1, φ = 1, c(y, φ, p) = ln (Cy ), A = n {0, 1, 2, . . . , n}. Teorema 3. Si la función b es dos veces diferenciables1 E (Y ) = −b (θ) y Var (Y ) = b (θ) φ pEjemplo 4. Para la ley binomial de parámetros (n,p) se tiene f (y; θ) = exp yθ − n ln(1 + eθ ) + ln (Cy ) n con θ = ln
p 1−p

E(Y ) = b (θ) = n V ar(Y ) = b (θ) = n
1

eθ = np 1 + eθ

eθ (1 + eθ ) − e2θ eθ 1 =n = np(1 − p) 2 θ 1 + eθ 1+e (1 + eθ )

Para una demostración consultar Kight.

1.2. El modelo Un modelo lineal generalizado queda especificado por: • el vector de diseño, xt =(1, xi2 , . . . , xip ). Algunas de las xi pueden ser i transformaciones de las variables originales que por el momento las denominaremos z. Por ejemplo: x = ez , x = ln(z), x = z 2 , puede ser una variable indicatriz correspondiente a una modalidad de una covariante cualitativa, o el producto de variables indicatrices, producto de covariantes, etc.. • La distribución de probabilidad de las...