Ensayo de ecuaciones diferenciales

Ensayo

Ecuaciones Diferenciales

Septiembre-Diciembre 2013

Portada

Materia:
Ecuaci´ones Diferenciales Ordinarias
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Profesor:
Dr. J. Juan Rosales Garcia
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Alumno:
Orozco Aguilar Christopher
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Ensayo
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Tema:
Ecuaciones Diferenciales con Fuentes Discontinuas
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Entrega:
26 de Noviembre del 2013

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Ensayo

Ecuaciones Diferenciales

Septiembre-Diciembre2013

Indice
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Secci´
on

P´
agina

Introducci´on

3

Objetivo

3

Desarrollo

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Ejemplo

5

Aplicaci´on

7

Conclusi´on

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Bibliograf´ıa

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Ensayo

Ecuaciones Diferenciales

Septiembre-Diciembre 2013

Introducci´
on
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En las aplicaciones reales de ingenier´ıa la funci´on casi siempre es continua por partes y en ocaciones
es un pulso de muycorta duraci´on. Pero existe un metodo que se puede aplicar a esta clase de
problemas. Este metodo es el metodo de Laplace o transformada de Laplace.
Sin embargo, La transformada de Laplace (TL) es aplicable s´olo a ecuaciones diferenciales lineales.
Las funciones discontinuas (continuas por partes) aparecen de manera natural. El encendido y
apagado de un interruptor es un fenomenodiscontinuo. Las ecuaciones diferenciales que contienen
funciones discontinuas son dif´ıciles de tratar anal´ıticamente pero la TL nos facilita el tratamiento
de estas discontinuidades.
En este ensayo hablar´e de un particular m´etodo para poder resolver estas funciones discontinuas
el cual es conocido por el nombre de Ecuaciones diferenciales con fuentes discontinuas.
Tambien mostrar´e un ejemplo deaplicaci´on para este tipo de ecuaciones diferenciales en donde
observaremos como utilizarlas para realizar la activaci´on y apertura de una puerta de carga del
transbordador Atlantis de la NASA en estados Unidos

Objetivo
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El objetivo de este ensayo es aprender a resolver las funciones discontinuas como fuentes que con
otros metodos se dificultaria demasiado.
Este tipo de problemassurgen en situaciones donde la entrada a un sistema f´ısico experimenta
cambios instantaneos o cuando las fuerzas que act´
uan en un sistema cambian de manera r´apida.
En pocas palabras aprenderemos a resolver ecuaciones de la forma:
ay + by + cy = f (t)
y(0) = c0
y (0) = c1
Y una aplicaci´on u
´til para el Transbordador Atlantis.

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Ecuaciones DiferencialesSeptiembre-Diciembre 2013

Desarrollo
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Ecuaciones de la forma:
ay + by + cy = f (t)
y(0) = c0
y (0) = c1
donde a, b, y c son constantes
(a = 0)
y f(t) tiene un numero infinito de discontinuidades en el intervalo
(0, ∞)
es decir, tiene la forma:

f0 (t) para 0 ≤ (t) < t1
f (t) = f1 (t)

para

(t1 ) ≤ (t) < t2

f2 (t) para (t) ≥ (t2 )
.
Los pasos a seguir para resolver este tipo deeciuaciones son los siguientes:
Primer paso: Debemos representar la funcion f(t) en forma de combinaci´on de funciones escal´on:
f (t) = u(t)f0 (t) + u(t − t1 )[f1 (t) − f0 (t)] + u(t − t2 )[f2 (t) − f1 (t)]

Segundo paso: Aplicar la transformada de Laplace a toda la ecuaci´on diferencial.
Tercer paso: Hacer uso de la transformada de Laplace para las derivadas y tomar en cuenta las
condicionesiniciales. Para calcular la transformada de Laplace de la funci´on (fuente),continua por
partes, se hace uso de los teoremas.
Cuarto paso: Despejar Y(s) y calcular su inversa con el objetivo con el objetivo de hallar la funcion
y(t), la cual ser´a la soluci´on de la ecueaci´on diferencial:
ay + by + cy = f (t)
y(0) = c0
y (0) = c1
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Ejemplo
(RoGu)

El resultado de la siguiente ecuacion puede modelar el movimiento de una masa unitaria m=1
unida a un resorte con constante k=2,la cual esta deslizandose sobre una superficie con coeficiente de amortiguamiento igual a 2, las condiciones iniciales pueden ser interpretadas como:
en el tiempo t=0 la masa se mantiene en reposo en y=0. Cuando t¡7 , la superficie se...