Ensayo derivadas parciales

4.1.-Funciones con dos o más variables

Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) y sólo un número real z.
  

El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia da un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen ocontra dominio.
Una función de dos variables se denota usualmente con la notación 
 
z = f (x, y)
Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente. 
La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x,y). 
  
Este conjunto de puntos forma una superficie en elespacio tridimensional.

En consecuencia, la grafica de una función f de dos variables es una superficie que consta de todos los puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadas cartesianas están determinadas por las ternas ordenadas de números reales (x, y, z). Como el dominio de f es un conjunto de puntos del plano x, y, y puesto que cada par ordenado (x, y) del dominio de f corresponde a soloun valor de z, ninguna recta perpendicular al plano x,y puede intersectar a la grafica de f en mas de un punto.

4.2.-Limites y continuidad

Sea  una función definida en una vecindad del punto .
Definición
Se dice que , si para cada número positivo , por pequeño que este sea, es posible determinar un número positivo , tal que para todos los valores de , diferentes de , que satisfacen ladesigualdad , se verificará la desigualdad .

Luego,  si y solo si para cada  tal que si, entonces . 
En forma gráfica se tiene: 
para cada  | existe  |
| |
 
tal que si   | entonces   |
| |
|

4.3.-Derivadas parciales

Una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadasparciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

(Donde  es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi')
Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x,y,z,...), es decir:

Al realizar esta derivada obtenemos lapendiente de dicha función A paralela al eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada.
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.
Para las derivadas parciales asignaremos un símbolo distintoal que se utiliza comúnmente para denotar la derivación de funciones con una única variable independiente. En lugar de la letra d (como en dy/dx), emplearemos el símbolo , el cual es una variante de la letra griega (delta minúscula). Así, ahora escribiremos , el cual se lee: “la derivada parcial de y con respecto con respecto a xi”.

4.4.-Incrementos y diferenciales
Para funciones de unavariable , se define el incremento de  como 

y la diferencial de  como 

 representa el cambio en la altura de la curva  y  representa la variación en  a lo largo de la recta tangente cuando  varía en una cantidad.
En la siguiente figura se muestra .

 

Observe que  se aproxima a cero más rápidamente que , ya que 

y al hacer , tenemos que . 
Por tanto 

donde  conforme . 
 

Ahoraconsideremos una función de dos variables. 
Si  y  son incrementados  y, entonces el correspondiente incremento de  es 

Con lo cual  representa el cambio en el valor de  cuando  cambia a.

4.5.-Regla de la cadena
En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto...