ensayo

Entorno (matemática)


Un conjunto en el plano es un entorno de un punto si un pequeño disco alrededor de está contenido en .


Un rectángulo no es un entorno de ninguna de sus esquinas.
En topología y áreas relacionadas con la matemática, un entorno (o vecindad) es uno de los conceptos básicos de los espacios topológicos. Intuitivamente hablando, un entorno de un punto es un conjunto quecontiene al punto en dónde uno puede separarse un poco del punto en cuestión sin abandonar el conjunto.
El concepto de entorno está estrechamente relacionado con los conceptos de conjunto abierto y punto interior. Definición
Si X es un espacio topológico y p es un punto perteneciente a X, un entorno de p es un conjunto V que contiene un conjunto abierto U que contiene a p,

Nótese que elentorno V no necesita ser un conjunto abierto. Si V es abierto se lo llama un entorno abierto. Algunos autores especifican que los entornos deben ser abiertos, por lo que es importante prestar cuidado a las diferentes notaciones.
El conjunto de todos los entornos de un punto forma una base de entornos del punto.
Si S es un subconjunto de X, un entorno de S es un conjunto V, que contiene un conjuntoabierto U que contiene a S. Se deduce que un conjunto V es un entorno de S si y solo si es un entorno de todos los puntos de S.
Clases de entorno
Entorno reducido: un entorno de un punto es un entorno reducido si el propio punto no pertenece al mismo. Es decir, está compuesto solamente por los puntos cercanos a
Entornos abiertos: un entorno de un punto es entorno abierto de si es un conjuntoabierto (es decir, ).
Entornos cerrados: un entorno de un punto es entorno cerrado de si es un conjunto cerrado.
Entorno compacto: un entorno de un punto es entorno compacto de si es un conjunto compacto.
Entorno conexo: un entorno de un punto es entorno conexo de si es un conjunto conexo
Entorno conexo por caminos: un entorno de un punto es entorno conexo por caminos de si es un conjuntoconexo por caminos.
Entorno simplemente conexo: un entorno de un punto es entorno simplemente conexo de si es un conjunto simplemente conexo.
Entorno convexo: un entorno de un punto en un espacio vectorial topológico es entorno convexo de si es un conjunto convexo.
En el espacio métrico


Un conjunto en el plano y un entorno uniforme de .
En un espacio métrico M = (X,d), un conjunto V es unentorno de un punto p si existe una bola abierta con centro p y radio r,

que es contenida en V.
V es llamado entorno uniforme de un conjunto S si existe un número positivo r tal que para todos los elementos p de S,

estén contenidos en V.
Para r>0 el r-entorno de un conjunto S es el conjunto de todos los puntos en X que distan menos de r desde S (o equivalentemente, es la unión de todas lasbolas abiertas de radio r que tienen centro en un punto de S).
Se deduce entonces que un r-entorno es un entorno uniforme, y que un conjunto es un entorno uniforme si y solo si contiene un r-entorno para algún valor de r.
Ejemplo
Dado el conjunto de números reales con la distancia euclideana y un subconjunto V definido como:

entonces V es un entorno del conjunto de números naturales, pero no esun entorno uniforme de este conjunto.
Topología de entornos
La definición superior es útil si la noción de conjunto abierto está previamente definida. Existe una forma alternativa de definir una topología, primeramente definiendo su base de entornos, y entonces los conjuntos abiertos como aquellos conjuntos que contienen un entorno para cada uno de sus puntos.
Una base de entornos en X es laasignación de un filtro N(x) (en el conjunto X) para cada x en X tal que:
1. el punto x es un elemento de cada U en N(x).
2. cada U en N(x) contiene algún V en N(x) tal que para cada y en V, U esté en N(y).
Entorno uniforme
En un espacio uniforme S:=(X, δ) V es denominado entorno uniforme de P si P no es cercano a X \ V, tal que allí no exista un espacio uniforme que contenga a P y X \ V....