Ensayo

Ecuación de tercer grado

I. El caso general
Una ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:
ax³ + bx² + cx + d = 0,
donde a, b,c y d (a ≠ 0 ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a ℂ. Sea K un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas. En este cuerpo, es posible factorizarpor todo a ≠ 0, y la identidad siguiente es válida:
(a - b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 - b3
Basta con encontrar una solución, digamos r, pues al factorizar ax3 + bx2 + cx + d por x - r, obtenemos una ecuación de segundo grado que sabemos resolver, lo que dará las demás raíces. En un cuerpo algebráicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 3 tiene tres raíces. Es el caso del cuerpo de loscomplejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.
Los pasos de la resolución son:
• Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0 ). Se obtiene:
x3 + b'x2 + c'x + d' = 0 con b' = b/a, c' = c/a, d' = d/a.
• Proceder al cambio de incógnita z = x + b'/3, para suprimir el término cuadrado. En efecto, al desarollar (z - b'/3)3 con la identidad precedente, vemos aparecerel término -b'z2, compensado exactamente por b'z2 que aparece en b'(z - b'/3)2. Se obtiene:
z3 + pz + q = 0, con p y q números del cuerpo.
• y ahora, la astucia genial: escribir z = u + v.
La ecuación precedente da (u + v)3 + p(u+v) + q = 0.
Desarollando: u3 + 3u2v + 3uv2 + v3 + pu + pv + q = 0.
Reagrupando: (u3 + v3 + q) + (3uv2 + v3 + pu + pv) = 0.
Factorizando:(u3 + v3 + q) + (u + v)(3uv + p) = 0.
Comó se ha introducido una variable adicional (u y v en vez de z) , es posible imponerse una condicion adicional. Concretamente:
3uv + p = 0, que implica u3 + v3 + q = 0 .
• Pongamos U = u3 y V = v3. Entonces tenemos U + V = - q y UV = - p3/27 porque UV = (uv)3 = (-p/3)3.
Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuación auxiliar (E) X2 + qX -p3/27 = 0, que se sabe resolver.
Luego u y v son raíces cúbicas de U y V (que verifican uv = -p/3), z = u + v y finalmente x = z - b'/3. En el cuerpo C, si u0 y v0 son estas raíces cúbicas, entonces las otras son ju0 y j2u0, y por supuesto jv0 y j2v0, con j = e2iπ/3, una raíz cubica de la unidad.
Como el producto uv está fijado ( uv = -p/3) las parejas (u, v) posibles son ( u0, v0), ( ju0 , j2v0)y (j2u0, jv0).
Las otras raíces de la ecuación de tercer grado son por lo tanto ju0 + j2v0 - b'/3 y j2u0 + jv0 - b'/3.

II. El caso real
Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebráicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentranen C, extensión agebráica cerrada de R. La distinción aparece cuando se sacan las raíces cuadradas en el cálculo de U y V. Las raíces cúbicas no plantean problemas.
Se demuestra que el número de raíces reales depende del discriminante (multiplicado por 27) de la ecuación auxiliar Δ = 4p3 + 27q2:
• Si Δ > 0 existe una única raíz real. Las demás son complejas conjugadas.
• Si Δ = 0 existeuna raíz multiple real: una raíz triple o una doble y otra simple, todas reales.
• Si Δ < 0 existen tres raíces reales.
Habrán notado que siempre hay por lo menos una solución real. Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en + ∞ y - ∞ y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones contínuas, tienen que pasar por cero,por el teorema de los valores intermedios. En la figura siguiente se registra todos los casos, según los signos de a y de Δ.
[pic]

III. Primer ejemplo
Sea 2t3 + 6t2 + 12t + 10 = 0 Sigamos los pasos descritos en el primer párrafo.
• t3 + 3t2 + 6t + 5 = 0 (al dividir por 2)
• con x = t + 1, es decir t = x - 1 reemplazando: (x - 1)3 + 3(x - 1)2 + 6(x - 1) + 5 = 0
desarollando: x3 + 3x...