Ensayoo

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BLOQUE 9
Emplea la ecuación de la elipse con centro en el origen
9.1 caracteriza la elipse como lugar geométrico
Llamamos lugar geometrico al conjunto de puntos que satisfacen una determinada propiedad.
Llamamos elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos del plano es constante este valor es 2a, y , es constante. Veamos sus elementosen los siguientes dibujos:

Los puntos fijos y se denominan focos, siendo el eje focal la recta que pasa por ellos.
Se llama eje secundario a la mediatriz del segmento . El punto medio de dicho segmento es el centro de la elipse.
Los dos ejes de la elipse cortan a ésta en cuatro puntos, , , y que reciben el nombre de vértices .
La distancia focal es la que hayentre los focos y se expresa por . La mitad de esta distancia, , es la semidistancia focal.
Para cualquier punto de la elipse, se verifica que es constante. Llamamos a esta constante .
El segmento es el eje mayor de la elipse. La longitud del eje mayor es . La mitad de esta distancia, , se denomina semieje mayor.
El segmento es el eje menor de la elipse y sulongitud se expresa por . La mitad de esta distancia, , es el semieje menor.
Ecuación
Supongamos que el origen de cordenadas esta en el centro de la elipse y que el eje focal coincide con el eje , entonces los focos son:

La condición de que la suma de la distancias de un punto cualquiera de la elipse, , a los focos es se puede expresar matematicamente de la siguiente forma:Igualdad que es equivalente a esta otra:

que constituye la ecuación reducida de la elipse.
Ejemplo
a) Un circunferencia se puede considerar como un caso especial de elipse. Una circunferencia seria una elipse en el que los dos focos y el centro de la elipse coinciden. En una circunferencia y, por tanto, la excentricidad de una circunferencia es 0.
b) En la imagen de abajo vemos a unjardinero que esta dibujando una elipse en un jardin
para poner en él sus rosales. Ha puesto dos estacas en el suelo separadas una cierta
distancia y esta utilizando una cuerda con sus extremos unidos. El jardinero tensa la
cuerda con las dos estacas y una vara que sujeta con la mano y dibuja la elipse creando
un surco con la vara mientras se asegura de que la cuerda siempre forma un triangulo:9.2 Identifica los elementos asociados a la elipse
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:
• El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y
• el semieje menor (el segmento C-b de la figura).
Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente
Excentricidad de una elipse
La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razónentre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
, con
Dado que , también vale la relación:

o el sistema:

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.3 La designacióntradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.
Constante de la elipse

En la figura se muestran los dos radio vectores correspondientes a cada punto P de una elipse, los vectores que van de los focos F1 y F2 a P. Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1 (color azul) y PF2 (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntosP de la elipse.
Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:
PF1 + PF2 = 2a
Directrices de la elipse
La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse. Cada foco F de la elipse está asociado con una recta...
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