Ensayos De Autores

CONJUNTO DE NUMEROS NATURALES

Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para la enumeración.
Puesto que los números naturales se utilizan para contar objetos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del autor,el conjunto de los números naturales puede presentarse entonces de dos maneras distintas:
Definición sin el cero:Definición con el cero: |
Definición en teoría de conjuntos

En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetosque se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.

Operaciones con los números naturales

Las operacionesmatemáticas que se definen en el conjunto de los números naturales son la suma y la multiplicación.
La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas, es decir:
El orden de los números no altera el resultado (propiedad conmutativa), a+b = b+a, y a×b = b×a.
Para sumar — o multiplicar — tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una maneraespecífica ya que (a+b)+c=a+(b+c) (propiedad asociativa). Esto es lo que da sentido a expresiones como a+b+c.
Al construir la operación de multiplicación de números naturales, se puede observar claramente que la adición o suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades iguales y gracias a esta compatibilidad se puede desarrollarla propiedad distributiva, que se expresa:

Aparte, estas dos operaciones cumplen con las propiedades de:
Clausura de ambas operaciones para todos los números naturales a y b, ya que a + b y a × b son siempre números naturales.
Existencia de elementos neutros para ambas operaciones, es decir, para cada número a, a + 0 = a y a × 1 = a.
No existencia de divisores de cero para la operación demultiplicación: si a y b son números naturales tales que a × b = 0, entonces a = 0 ó b = 0.

Propiedades de los números naturales
Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden  se puede redefinir así:  si y sólo si existe otro número natural  que cumple . Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si ,  y son números naturales y , entonces se cumple:Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordeno.

CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROS

Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.),son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra  = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que provienedel alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).
Los números enteros no tienen parte decimal. ejemplos :

−783 y 154 son números enteros

45,23 y −34/95 no son números enteros
Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también...