Ensayos

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Capítulo 3 LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA
3.1 INTRODUCIÓN 3.1.1. El Teorema de Euler. Hay una curiosa relación entre el número de caras de un poliedro, el número de vértices y el de aristas (descubierta por Euler). Para averiguar cuál es esta relación, hagamos un conteo para algunos poliedros sencillos: Para un cubo tenemos: 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. Para un tetraedro: 4 caras, 4 vértices y 6aristas.

Figura 3.1 En verdad no es fácil establecer una relación con tan pocos casos....pero tampoco con muchos: tuvo que ser Euler, uno de los matemáticos más creativos de la Historia, quien se diera cuenta que: G Z œE# (1)

donde G es el número de caras, Z el de vértices y E el de aristas. En los dos ejemplos anteriores se cumple la relación. Si Ud. tiene paciencia y curiosidad, podríaintentar hacer el conteo en otros poliedros sencillos, por ejemplo en los 5 posibles poliedros regulares (además del tetraedro regular y el cubo, está el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro). Hagamos un primer salto infinito: consideremos un prisma con 8 caras laterales:

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Figura 3.2 En este caso es fácil contar los elementos: hay 8  # caras, #8 vértices y 8  #8 œ $8 aristas: ¡¡ larelación (1) se cumple !! Notar que hay aquí una infinidad de poliedros que satisfacen la relación (1). Hay otro caso similar: una pirámide con 8 caras laterales:

Figura 3.3 En este caso hay: 8  " caras, 8  " vértices y 8  8 œ #8 aristas : la relación (1) también se cumple. Tenemos aquí otra familia infinita de poliedros que satisfacen la fórmula de Euler. Sin embargo, es claro que estos casosno agotan todos los posibles poliedros. Hagamos una experiencia diferente: tomemos 2 prismas de base triangular y unámoslos ortogonalmente por sus bases:

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Figura 3.4 Contando cuidadosamente, se obtiene: hay 9 caras (G œ *Ñ ß 9 vértices ÐZ œ *Ñ pero 15 aristas ÐE œ "&Ñ : G  Z œ ") Á "( œ E  #Þ ¡¡ la relación de Euler no se cumple!!! En realidad, Euler se dió cuenta que no todos lospoliedros satisfacen esa relación. Pero conjeturó que, con una condición adicional, la relación sería un teorema. La condición es que el poliedro sea convexo , es decir, que si se toman dos puntos cualquiera dentro del poliedro, el trazo completo que los une también está dentro del poliedro. Esta condición claramente no se cumple en el ejemplo de la Figura 3.4, pero efectivamente se cumple paraprismas y pirámides. Aún así el problema está lejos de estar resuelto: hay una infinidad de poliedros convexos que no son ni prismas ni pirámides. Es más: a partir de un poliedro convexo cualquiera uno puede fabricar otro distinto. Por ejemplo cortándole una punta con un plano:

Figura 3.5 Notemos que, si el poliedro original es convexo, el nuevo poliedro también lo será. Supongamos que el poliedrooriginal satisface la relación

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(1) de Euler y que a la arista A que se corta concurren 8 caras. El nuevo poliedro tendrá G w œ G  " caras, una más que el original, el número de vértices Z w del nuevo poliedro será uno menos que el original (se pierde el vértice que se cortó) pero se ganan 8 vértices nuevos , luego Z w œ Z  "  8 y del mismo modo se ganarán 8 aristas nuevas: Ew œ E  8 ÞPor lo tanto: G w  Z w œ G  "  Z  "  8 œ E  8  # œ Ew  # Nuevamente se cumple la relación (1). Hagamos otro intento: supongamos que tenemos un poliedro convexo que satisface la relación (1). Tomemos una cara cualquiera de este poliedro y agregémosle un "techo":

Figura 3.6 Si el poliedro original es convexo y el "techo" que se agrega tiene una altura suficientemente pequeña, entonces elnuevo poliedro también será convexo. Supongamos que la cara elegida tiene 8 lados: El nuevo poliedro tendrá G w œ G  "  8 caras, pues se pierde una pero se ganan 8 caras nuevas. El número de vertices será Z w œ Z  " pues se gana un solo vértice nuevo. El número de aristas será Ew œ E  8 pues no se ha perdido ninguna pero se han ganado 8 aristas nuevas. Veamos si el nuevo poliedro satiface...
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