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Lección 8: Diseño de Compensadores de Adelanto en Frecuencia

12 de marzo de 2007

1.

Lecturas Recomendadas
Cap. 9, pág. 621-630. Ogata (2003). Cap. 10, pág. 589-595. Dorf and Bishop (2005). Cap. 10, pág. 717-735. Kuo (1996)

2.

Procedimiento de Diseño
Se pueden enumerar los siguientes pasos para el diseño, 1. Si las especificaciones de diseño incluyen una constante de errorestático, entonces se debe proceder a calcular la constate K del compensador. 2. Se dibuja la respuesta de frecuencia de KG(jw). 3. Se determina el M F del sistema sin compensar ya sea por un método analítico, gráfico o numérico. 4. Se determina la fase que debe proporcionar el compensador (φc ) añadiendo entre 5 y 12 grados adicionales para compensar el corrimiento de frecuencia debido al compensador. 5.Se calcular α =
1−sin(φc ) 1+sin(φc )

1 6. Se calcula −20 log √α y se encuentra la frecuencia correspondiente (wm ) para esta magnitud en el diagrama de bode de magnitud.

7. Se calcula τ =

1 √ wm α

8. Se verifica si el sistema en lazo cerrado cumple con las especificaciones de diseño. 1

3.

Ejemplos

3.1.

Ejemplo 1:

Diseñar un compensador para el sistema de la ecuación (1),tal que la constate de error de velocidad sea de 20 [1/s] y el MF sea mayor a 75 grados. G(s) = 1 s (s + 10) (1)

El compensador a utilizar tiene la siguiente forma general, Gc (s) = K 1 + τs 1 + ατ s

Se procede entonces a calcular la ganancia K tal que se cumpla con la condición de la constante de velocidad. Es decir, kv = l´ sGc (s)G(s) ım
s→0

= l´ s K ım
s→0

1 + τs 1 + ατ s

1 s(s + 10)

=

K 10

Por lo que K = 200. Una vez calculado K, se procede a dibujar la respuesta de frecuencia de KG(s), la cual se presenta en la Figura (1). Del gráfico se puede medir que el M F = 38,69◦ a una frecuencia wf = 12,48 [rad/s]. Este valor también se puede obtener de manera analítica al cumplir la condición de cruce de ganancia, |KG (jwf )| = 1

Es decir, 200 = 1 w w2 + 100 w4 +100w2 − 40000 = 0 √ 2

Bode Diagram 100 80 60 40 Magnitude (dB) Phase (deg) 20 0 −20 −40 −60 −80 −100 −90

−135

−180 10
−1

10

0

10

1

10

2

10

3

Frequency (rad/sec)

Figura 1: Diagrama de Bode de KG(s) Cuya solución es wf = 12,48 [rad/s], y por lo tanto el M F es, M F = 180◦ + ∠KG(jwf ) 200 = 180◦ + ∠ jwf (10 + jwf ) ◦ = 180 − 141,29◦ = 38,70◦ Dado que el M Frequerido debe ser mayor a 75 grados, entonces la fase del compensador debe ser, M F = 38,70 + φc + φcorreccin Dado que existirá un corrimiento hacia la derecha en la frecuencia de cruce debido al aporte del compensador, se debe sumar un ángulo de entre 5 y 12 grados adicionales al del compensador (φcorreccin ). Entonces el ángulo del compensador será de φc = 24. Con este ángulo se procede acalcular el valor de α del compensador, α = 1 − sin (φc ) 1 + sin (φc ) = 0,4217

Con este valor, se procede a calcular la magnitud de la respuesta de frecuencia a la cual 3

ocurre la máxima contribución de fase del compensador. Es decir, 1 |Gc (jw)|φc=32 = √ α = 1,539

Luego se debe buscar en el gráfico de |KG(jw)|dB la frecuencia a la cual se tiene esta ganancia (wm ); es decir, −20 log (1,539)= −3,744dB. Se encuentra entonces que la frecuencia wm = 9,443 [rad/s]. Finalmente, se calcula el valor de τ , 1 wm = √ ατ Entonces, τ = 0,163

El compensador es entonces, Gc (s) = 200 1 + 0,163s 1 + 0,06876s

La respuesta de frecuencia del sistema en lazo cerrado se presenta en la Figura (3(a)), de donde se puede determinar que M F = 77,17, y la respuesta a una entrada paso del sistema sincompensar y del sistema compensado se muestran en la Figura (3(b)). Nótese que la respuesta paso del sistema compensado es bastante más rápida comparada con la del sistema sin compensar. Normalmente esto sucede con la incorporación de un compensador de adelanto ya que el efecto de añadir el compensador es la de incrementar el ancho de banda del sistema en lazo cerrado y por lo tanto incrementar...