Erik ACR

Tasa de variación


Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que corresponde al incremento de x (Δx).

Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h.
Δy =[f(a+h) − f(a)]
Tasa de variación media
Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa por ó , al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es:

Interpretación geométrica
La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función f(x), que pasa por los puntos deabscisas a y a+h.

ya que en el triángulo PQR resulta que:

Calcular la T.V.M. de la función f(x) = x2 − x en el intervalo [1,4].

El índice de la bolsa de Madrid pasó cierto año de 1350 a 1510. Hallar la tasa de variación media mensual.

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Concepto de derivada



Derivada de una función en un punto
La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, siexiste, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.


Hallar la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.



Calcular la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.




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Interpretación geométrica de la derivada




Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser larecta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.


La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
mt = f'(a)
Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x, por tanto supendiente es m = 1.
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
f'(a) = 1.
Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.




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Interpretación física de la derivada



Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).


Velocidadinstantánea
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.


La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2. Calcular:
1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.
La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

2 La velocidadinstantánea en t = 1.
La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.



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Función derivada



La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se denota por f'(x).

Calcular la función derivada de f(x) = x2 − x + 1.





Hallar f'(−1), f'(0) y f'(1)
f'(−1) = 2(−1) − 1 = −3
f'(0) = 2(0) − 1 = −1
f'(1) =2(1) − 1 = 1
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Derivadas laterales



Derivada por la izquierda

Derivada por la derecha

Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.

Derivada de las funciones a trozos
En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos deseparación de los distintos trozos.
Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.



Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

Las derivada laterales no coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las funciones. Por tanto en esos puntos no existe la derivada.



No es derivable en x = 0.

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