errores calculo numerico

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE

T´picos I.
o
1.

Introducci´n
o

Profesor : Mar´ Ang´lica Vega U.
ıa
e
El prop´sito de estos m´dulos es entregar los conceptos te´ricos necesarios y las aplicao
o
o
ciones en forma dirigida, de modo que el estudiante pueda participar en forma activa,
en el proceso ense˜ anza - aprendizaje, elaborando su propio material de estudio. El
n
logrodeseable es que el estudiante aprenda a aprender.

1.1.

Error.

En el an´lisis de un algoritmo, es necesario considerar el error en la aproximaci´n obtenida a
a
o
la soluci´n del problema. Este error puede producirse por varios factores, en el ejemplo 1.1 por
o
redondeo de la aritm´tica y t´rmino del proceso infinito. Estos errores son parte inevitable del
e
e
proceso de soluci´n y nodeben confundirse con los errores cometidos por el usuario, como falla en
o
el algoritmo o error en la programaci´n.
o
Para cada algoritmo podemos conocer una cota de error, esto es una cota sobre el error en la
soluci´n calculada.
o
Una cota que no depende de la soluci´n y puede ser calculada previamente, se llama cota de error
o
a priori. Cuando una cota no puede ser calculada hastadespu´s de la completaci´n de la parte
e
o
principal de los c´lculos es llamada una cota a posteriori. La cota de error es m´s grande que el
a
a
error, por tal raz´n debemos desarrollar m´todos alternativos de estimaci´n de error para algunos
o
e
o
problemas. Las cotas de error y estimativos son a menudo calculables y nos dan informaci´n tanto
o
del comportamiento asint´tico del error comodel mejoramiento de las aproximaciones.
o
Existen dos formas de medir o cuantificar la magnitud de un error.
Definici´n 1.1 . Sea x∗ una aproximaci´n del valor exacto x. Un indicador natural es la distancia
o
o
entre el valor exacto y el aproximado.
Definimos,
El error absoluto como la distancia,
EA (x∗ ) = |x − x∗ |
Observamos que el error absoluto no permite comparar la precisi´n entreaproximaciones de
o
diferentes ´rdenes de magnitudes.
o
4

El error relativo como,
ER (x∗ ) =

EA (x∗ )
|x − x∗ |
=
|x|
|x|

Este error es m´s significativo para comparar aproximaciones.
a
El error porcentual es el error relativo multiplicado por 100,
EP (x∗ ) = 100 · ER (x∗ )
Estos conceptos de error tienen s´lo un valor formal,puesto que no se conoce el valor exacto x. En
ola pr´ctica, se determina una cota o estimativo del error.
a
Otro concepto importante es el de intervalo precisi´n, diremos que [a, b] es un intervalo precisi´n
o
o
de x, que denotaremos por I(x), si
P (x ∈ [a, b]) = 1
es decir, la probabilidad que x est´ en el intervalo de precisi´n es la cierta.
e
o
Relaci´n entre error absoluto e intervalo de precisi´n
o
o
Dada una cota del errorabsoluto de x∗ , es posible determinar el intervalo de precisi´n de x.
o
Sea

una cota del error absoluto,
EA (x∗ ) ≤

⇔ |x − x∗ | ≤

⇔ x∗ − ≤ x ≤ x∗ +

es decir, x ∈ [x∗ − , x∗ + ] , luego I(x) = [x∗ − , x∗ + ].
Inversamente, dado I(x) = [a, b] un intervalo de precisi´n de x, es posible determinar una
o
cota del error absoluto de cualquier aproximaci´n x∗ en [a, b].
o
Sea x∗ ∈ [a,b] ⇒ |x − x∗ | ≤ m´x (x∗ − a, b − x∗ ) =
a
de donde,
EA (x∗ ) ≤ .
Si x∗ =

a+b
2

=

b−a
2 .

Observamos que el error absoluto no es significativo, a menos que tengamos alg´n conocimiento
u
de la magnitud de x. A menudo se usa el error relativo en t´rmino de porcentajes.
e
Otro punto importante de considerar al seleccionar un algoritmo es la eficiencia, que se mide de
acuerdo aln´mero de operaciones aritm´ticas b´sicas requeridas para dar una exactitud en el
u
e
a
resultado.

5

1.2.

D´
ıgitos significativos.

El uso de la aritm´tica de las computadoras lleva al concepto de d´
e
ıgitos significativos. El d´
ıgito
principal o m´s significativo de un n´mero real x = 0, es el d´
a
u
ıgito no nulo m´s a la izquierda
a
de su expresi´n decimal. Todos los...