Espacio De Estados

CAPÍTULO

9

Diseño de controladores analógicos por métodos de espacio de estado

El objeto de este capítulo es el diseño de sistemas de control usando la realimentación del vector de estado. La técnica de ubicación de polos permite situar los polos del sistema en lazo cerrado en la posición deseada por el diseñador, de modo que su comportamiento se adecue a lo que éste desee. Se demuestraque la condición necesaria y suficiente para que el sistema admita que sus polos en lazo cerrado se ubiquen en cualquier posición del plano s, es que el sistema sea completamente controlable. Cuando no es posible medir todos los estados de la planta para utilizarlos en el vector de realimentación, se estiman los estados necesarios a partir de la información disponible de la planta. Se demuestraque la condición necesaria y suficiente para que el vector de estado se pueda estimar es que el sistema sea completamente observable. En el capítulo se aborda tanto el diseño de sistemas sin entrada o con entrada constante (reguladores) como el de sistemas que han de seguir una señal de referencia (servosistemas). Se realizan numerosos ejemplos de lápiz y papel así como mediante computadorutilizando MATLAB. La última parte del capítulo se dedica al estudio de un caso práctico, el péndulo invertido montado sobre una base móvil. A partir de la obtención de las ecuaciones de la planta y de su modelo de estado, se diseña un regulador y un servosistema para controlar un péndulo invertido. Es importante hacer la consideración preliminar que a lo largo de todo el capítulo, los modelos de estadoutilizados serán de sistemas LTI, esto es, sistemas Lineales e Invariantes con el Tiempo1.

9.1 Introducción
La técnica de diseño de controladores mediante la realimentación de estado consiste en realimentar las variables de estado a la entrada mediante una matriz de ganancia K cuyos coeficientes son constantes. En la figura 9.1 se muestra el diagrama de bloques de un sistema de control mediantela realimentación de estado. Planta D r(t) + u(t) + +
x(t )

B

-

∫ dt
A K

x(t)

C

+

+ y(t)

Figura 9.1: Realimentación del vector de estado a la entrada

1

Para un estudio más general, donde en la ecuación de estado las matrices A y B dependen del tiempo, se aconseja al lector la consulta del texto de Domínguez, S.; et al. Control en el Espacio de Estado. PearsonEducación, S. A., Madrid, 2002.

CAPÍTULO 9: Diseño de controladores analógicos por métodos de espacio de estado

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9.2 Asignación de polos mediante la realimentación de estado
La realimentación de estado permite el diseño de sistemas de control vía la ubicación o asignación de polos. Esto es, los polos del sistema en lazo cerrado se ubican en la posición deseada por el diseñador, de modo quelas condiciones transitorias sean llevadas a cero de forma preestablecida. En primer lugar se va a considerar el diseño de sistemas de control del tipo regulador. Esto es, en el diseño se asumirá que el sistema no tiene entrada de referencia (ver figura 9.2), o si la tiene ésta no varía. El objetivo del control es pues que, dado un sistema en unas condiciones de funcionamiento, se desea mantenerloen ellas, de modo que las posibles perturbaciones a las que se vea sometido no deben sacarlo de regulación (el error que puedan ocasionar las perturbaciones ha de ser llevado a cero en un tiempo razonable). Para ello se utiliza la señal de control u(t). En la sección 9.9 se verá que esta técnica se puede aplicar también a sistemas que han de seguir entradas, los cuales se conviene en denominarservosistemas. La forma de ubicar los polos de lazo cerrado en la posición deseada es mediante una matriz de realimentación de estado. Inicialmente, las ecuaciones de estado se aplican a la planta en vez de al sistema en lazo cerrado, de modo que las matrices A, B, C y D se utilizan para describir un modelo de planta lineal e invariante con el tiempo:

x(t ) = Ax(t ) + Bu(t ) y (t ) = Cx(t ) +...