Espacio Vectorial
Páginas: 30 (7450 palabras)
Publicado: 26 de agosto de 2011
Álgebra Lineal
2010
II. Espacios Vectoriales
Objetivo
Se identificarán los espacios vectoriales y analizarán sus características fundamentales.
Espacio vectorial
En Matemática, los conjuntos tienen un particular interés, debido a la naturaleza o a la aplicación que se les da. Estas dos características están presentes en un tipo especial de conjunto; conjunto utilizado pararepresentar cantidades físicas con magnitud, dirección y sentido; conjunto que es conocido como espacio vectorial. A los elementos pertenecientes al espacio vectorial se les conoce como vectores. De manera básica existen tres definiciones para un vector, todas encaminadas en un ámbito diferente. Así, el término físico es una cantidad con magnitud, dirección y sentido; en Geometría, el vector es un elementodirector de una curva en el plano o el espacio; finalmente, en Álgebra, el vector es un elemento sobre el cual pueden aplicarse las operaciones de suma y multiplicación por un escalar. Este último punto de vista será el abordado en las siguientes páginas: el vector como elemento de un conjunto donde se definen dos operaciones. Sean K un campo, y V un conjunto no vacío con los cuales se definenlas operaciones Suma Multiplicación por un escalar El conjunto V es un espacio vectorial sobre el campo K, si para todo vector escalar se cumple que 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. . . y para todo
.
. , donde es el elemento neutro para la suma. , donde es el elemento inverso de para la suma. . . , donde 1 es la unidad del campo. .
Los 10 diez axiomas anteriores establecen la estructuraalgebraica de espacio vectorial, y pueden aplicarse a cualquier conjunto sobre cualquier campo, siempre y cuando se cumplan.
4 Elaboró: Ing. Aldo Jiménez Arteaga
Álgebra Lineal
2010
Ejemplo 2.1. Algunos conjuntos trascendentes son espacios vectoriales: • • • • Las matrices de orden . Los números complejos, y sus variantes Los números reales, y sus variantes . Los polinomios de grado n. .Dentro de los conjuntos de elementos matemáticos más comunes pueden definirse operaciones de suma y multiplicación por un escalar diferentes a las tradicionales. Dichas operaciones modificadas también son válidas para verificar la estructura de espacio vectorial. Ejemplo 2.2. Sean el campo de los números reales y el conjunto operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas como y lasDetermínese si dicho conjunto es un espacio vectorial. Axioma 1. La multiplicación en los números reales positivos es cerrada, pues primera regla de los signos . Por lo tanto, el axioma se cumple. Axioma 2. y por la
Por lo tanto, el axioma se cumple. Axioma 3.
Por lo tanto, el axioma se cumple. Axioma 4.
Como el elemento neutro de la suma existe (es 1), el axioma se cumple. Esimportante resaltar que el elemento neutro no siempre es cero; de manera general se denota como , pero no quiere decir que será, como tal, un cero; todo dependerá de la forma en la cual esté definida la operación de suma.
5 Elaboró: Ing. Aldo Jiménez Arteaga
Álgebra Lineal
2010
Axioma 5.
Por lo que el axioma se cumple para cualquier elemento de T, ya que este conjunto no contiene al cero.Axioma 6. Un número real positivo elevado a cualquier potencia siempre es positivo. Por lo tanto, el axioma se cumple. Axioma 7.
Por leyes de los exponentes, el axioma se cumple. Axioma 8.
Nuevamente, por leyes de los exponentes, el axioma se cumple. Axioma 9.
Por leyes de los exponentes, una vez más, el axioma se cumple. Axioma 10.
El último axioma se cumple. Por lo tanto, el conjuntoT, con las operaciones definidas, es un espacio vectorial sobre el campo de los números reales. Un subconjunto específico de un conjunto de entes matemáticos comunes también puede ser espacio vectorial, si tiene definidas las operaciones de suma y multiplicación por un escalar y cumple con los 10 axiomas
6 Elaboró: Ing. Aldo Jiménez Arteaga
Álgebra Lineal
2010
Ejemplo 2.3. Sean el...
2010
II. Espacios Vectoriales
Objetivo
Se identificarán los espacios vectoriales y analizarán sus características fundamentales.
Espacio vectorial
En Matemática, los conjuntos tienen un particular interés, debido a la naturaleza o a la aplicación que se les da. Estas dos características están presentes en un tipo especial de conjunto; conjunto utilizado pararepresentar cantidades físicas con magnitud, dirección y sentido; conjunto que es conocido como espacio vectorial. A los elementos pertenecientes al espacio vectorial se les conoce como vectores. De manera básica existen tres definiciones para un vector, todas encaminadas en un ámbito diferente. Así, el término físico es una cantidad con magnitud, dirección y sentido; en Geometría, el vector es un elementodirector de una curva en el plano o el espacio; finalmente, en Álgebra, el vector es un elemento sobre el cual pueden aplicarse las operaciones de suma y multiplicación por un escalar. Este último punto de vista será el abordado en las siguientes páginas: el vector como elemento de un conjunto donde se definen dos operaciones. Sean K un campo, y V un conjunto no vacío con los cuales se definenlas operaciones Suma Multiplicación por un escalar El conjunto V es un espacio vectorial sobre el campo K, si para todo vector escalar se cumple que 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. . . y para todo
.
. , donde es el elemento neutro para la suma. , donde es el elemento inverso de para la suma. . . , donde 1 es la unidad del campo. .
Los 10 diez axiomas anteriores establecen la estructuraalgebraica de espacio vectorial, y pueden aplicarse a cualquier conjunto sobre cualquier campo, siempre y cuando se cumplan.
4 Elaboró: Ing. Aldo Jiménez Arteaga
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Ejemplo 2.1. Algunos conjuntos trascendentes son espacios vectoriales: • • • • Las matrices de orden . Los números complejos, y sus variantes Los números reales, y sus variantes . Los polinomios de grado n. .Dentro de los conjuntos de elementos matemáticos más comunes pueden definirse operaciones de suma y multiplicación por un escalar diferentes a las tradicionales. Dichas operaciones modificadas también son válidas para verificar la estructura de espacio vectorial. Ejemplo 2.2. Sean el campo de los números reales y el conjunto operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas como y lasDetermínese si dicho conjunto es un espacio vectorial. Axioma 1. La multiplicación en los números reales positivos es cerrada, pues primera regla de los signos . Por lo tanto, el axioma se cumple. Axioma 2. y por la
Por lo tanto, el axioma se cumple. Axioma 3.
Por lo tanto, el axioma se cumple. Axioma 4.
Como el elemento neutro de la suma existe (es 1), el axioma se cumple. Esimportante resaltar que el elemento neutro no siempre es cero; de manera general se denota como , pero no quiere decir que será, como tal, un cero; todo dependerá de la forma en la cual esté definida la operación de suma.
5 Elaboró: Ing. Aldo Jiménez Arteaga
Álgebra Lineal
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Axioma 5.
Por lo que el axioma se cumple para cualquier elemento de T, ya que este conjunto no contiene al cero.Axioma 6. Un número real positivo elevado a cualquier potencia siempre es positivo. Por lo tanto, el axioma se cumple. Axioma 7.
Por leyes de los exponentes, el axioma se cumple. Axioma 8.
Nuevamente, por leyes de los exponentes, el axioma se cumple. Axioma 9.
Por leyes de los exponentes, una vez más, el axioma se cumple. Axioma 10.
El último axioma se cumple. Por lo tanto, el conjuntoT, con las operaciones definidas, es un espacio vectorial sobre el campo de los números reales. Un subconjunto específico de un conjunto de entes matemáticos comunes también puede ser espacio vectorial, si tiene definidas las operaciones de suma y multiplicación por un escalar y cumple con los 10 axiomas
6 Elaboró: Ing. Aldo Jiménez Arteaga
Álgebra Lineal
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Ejemplo 2.3. Sean el...
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