Espacio Vectorial

Espacio vectorial

En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial seles llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Definición de espacio vectorial
Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir3) tenga elemento neutro , es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

y la operación producto por un escalar:

operación externa tal que:
5) tenga la propiedad asociativa:

6) tenga elemento neutro 1:

7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:

8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:

PropiedadesUnicidad del vector neutro de la propiedad 3:
supongamos que el neutro no es único, es decir, sean y dos vectores neutros, entonces:

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4:
supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean y dos vectores opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Unicidad del elemento en el cuerpo :
supongamos que 1 no es único, es decir, sean y dosunidades, entonces:

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo :
supongamos que el inverso de a, no es único, es decir, sean y dos opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Producto de un escalar por el vector neutro:

Producto del escalar 0 por un vector:

Si
* Si es cierto.
* Si entonces:

combinación lineal

Dado un espacio vectorial , diremos que un vector u escombinación lineal de los vectores de si existen escalares tales que

Notaremos como el conjunto resultante de todas las combinaciones lineales de los vectores de .
Independencia lineal
Diremos que un conjunto de vectores es linealmente independiente si el vector 0 no se puede expresar como combinación lineal no nula de los vectores de , es decir:
Si .
Diremos que un conjunto de vectores eslinealmente dependiente si no es linealmente independiente.
Base de un espacio vectorial
Las bases revelan la estructura de los espacios vectoriales de una manera concisa. Una base es el menor conjunto (finito o infinito) B = {vi}i ∈ I de vectores que generan todo el espacio. Esto significa que cualquier vector v puede ser expresado como una suma (llamada combinación lineal) de elementos de la basea1vi1 + a2vi2 + ... + anvin,
donde los ak son escalares y vik (k = 1, ..., n) elementos de la base B. La minimalidad, por otro lado, se hace formal por el concepto de independencia lineal. Un conjunto de vectores se dice que es linealmente independiente si ninguno de sus elementos puede ser expresado como una combinación lineal de los restantes. Equivalentemente, una ecuación
a1vi1 + ai2v2 + ... +anvin = 0
sólo se consigue si todos los escalares a1, ..., an son iguales a cero. Por definición de la base cada vector puede ser expresado como una suma finita de los elementos de la base. Debido a la independencia lineal este tipo de representación es única. Los espacios vectoriales a veces se introducen desde este punto de vista.

EJERCICIOS

Dado el espacio vectorial R2, una base delmismo (e1, e2) y la de su dual , se introduce un cambio de base en la siguiente forma:

Obtener la base dual de (v, w) en función de la .

RESPUESTA DEL EJERCICIO 1

Para obtener la base dual de la dada tenemos:

y análogamente:

Se comprueba que la matriz de paso de a es la inversa de la matriz de paso de (e1, e2) a (v,w).

Siendo x = (x1, x2) un vector cualquiera de R2, en dicho...