Espacio Vectorial

Espacios vectoriales

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Algebra Lineal - I. Arratia Z.

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En el estudio de las matrices y, en
particular, de los sistemas de ecuaciones
lineales realizamos sumas y multiplicación por
escalares con un tipo especial de matrices, las
de orden nx1.
Abusando del lenguaje y la notación establecimos la
correspondencia:
x1

 x2
.
.
.
.

 xn










(x 1, x 2 , . . . . , x n )

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n
Es decir, aceptamos que Mnx 1( ℜ ) ≅ ℜ , con el fin de
aprovechar la familiaridad que se tiene con los espacios

ℜ2 y ℜ3 .

En este capítulo estudiaremos conjuntos que
n
poseenpropiedades algebraicas similares a ℜ .
A dichos conjuntos se les dará el nombre de
espacios vectoriales y a sus elementos el
nombre de vectores.
En lo que sigue κ designará al cuerpo ℜ de los números
reales o al cuerpo C de los números complejos.

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Espacios y subespacios vectoriales
Unespacio vectorial sobre el cuerpo
de objetos V con dos operaciones:
(1) + : V x V

V ; (u, v)

κ

es un conjunto
u+v

que es asociativa, conmutativa, posee elemento neutro
(cero) y cada elemento posee un inverso.
(2) p:

κxV

V ; (α , v)

α⋅ v

que satisface lo siguiente:

i) α (β v ) = ( αβ )v ; ∀ α, β ∈ κ; ∀ v ∈ V
ii) ( α + β )v = α v + β v; ∀ α, β ∈ κ; ∀ v ∈ V
iii) α (u + v) = α u + α v; ∀ α ∈ κ; ∀ u, v ∈ V
iv ) 1 ⋅ v = v; ∀ v ∈ V, con 1 elemento unidad de κ
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La operación (1) es interna en V; se llama suma
o adición. La operación (2) es externa y se llama
multiplicación por escalar o ponderación.

Los elementos de V se llaman vectores y los de κescalares. Si κ = ℜ , se dice que V es un espacio
vectorial real. Si κ = C , el espacio vectorial V se dice
complejo.
En cualquier espacio vectorial V sobre

a)
b)

α ⋅ v = 0 ⇒ (α = 0
(-1) ⋅ v = − v, ∀v ∈ V

se tiene que:

0 ⋅ v = 0 , ∀v ∈ V
α ⋅ 0 = 0, ∀α ∈ κ

c)
d)

κ

∨

v = 0)

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Ejemplos de espacios vectoriales
(1)

Para n número natural, sea
(n veces), es decir,

ℜ

ℜn = ℜ × . . . . × ℜ

ℜn = { ( x1, . . . . . , x n ) / x i ∈ ℜ, ∀i = 1, . . . . , n }
n con las operaciones siguientes:

( x1, . . . . , x n ) + (a1, . . . . , a n ) = ( x1 + a1, . . . . , x n + a n )
α ( x1, . . . . , x n ) = ( α x1, . . . . , α x n ) , α ∈ ℜ

es un espacio vectorialreal.
En consecuencia,
sobre sí mismo.

ℜ

es un espacio vectorial

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El espacio vectorial real

ℜ2

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El espacio vectorial real

ℜ3__________________________________________________________________
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Suma en

ℜ3
Ponderación en

ℜ3

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(2) No sólo ℜ es un espacio vectorial sobre ℜ . Si IK es
un cuerpo, IK es un espacio vectorial sobre si mismo. En
este caso, la ponderación coincide con la multiplicación
delcuerpo IK. En consecuencia, C (números complejos)
es un espacio vectorial complejo. Pero C también es un
espacio vectorial real si se considera la ponderación:
α ( a + bi ) = α a + α bi , α ∈ ℜ
(3) Para m , n ∈ IN , el conjunto M mxn ( ℜ ) de las matrices
reales de orden mxn, con las operaciones suma y
multiplicación habituales de las matrices, es un espacio
vectorial real.
(4) El...