ESPACIO VECTORIAL

INDICE
1.1 MOTIVACION Y DEFINICION………………………………………………………………..1
1.2 DEFINICION FORMAL………………………………………………………………………..4
1.3 NOTAS Y DEFINICION ALTERNATIVA…………………………………………………….4
1.4 PROPIEDADES DEL ESPACIO VECTORIAL……………………………………………...8
1.5 ESPACIO DE COORDENADAS Y DE FUNCIONES……………………………………...9
1.6 ECUACIONES LINEALES…………………………………………………………………..10
1.7 TEORIA DE NUMEROSALGEBRAICOS…………………………………………………11
1.8 APLICACIONES LINEALES Y MATRICES………………………………………………..12
1.9 MATRICES……………………………………………………………………………………13
1.10 VECTORES Y VALORES PROPIOS…………………………………………………..17
1.11 CONSTRUCCIONES BASICAS………………………………………………………..18
1.12 ESPACIOS VECTORIALES CON ESTRUCTURA ADICIONAL……………………19
1.13 ESPACIOS VECTORIALES TOPOLOGICOS………………………………………..20
2 SUB-ESPACIO VECTORIAL………………………………………………………………..21
2.1DEFINICION…………………………………………………………………………………..21
2.2 CONDICION DE EXISTENCIA DE SUB-ESPACIO………………………………………21
2.3 OPERACIONES CON SU-ESPACIO………………………………………………………22
2.4 DIMENSIONES DE SUB-ESPACIO………………………………………………………..23
3 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL……………………………………………24
3.1 DEFINICION…………………………………………………………………………………..24
3.2 SIGNIFICACION GEOMETRICA…………………………………………………………..24
3.3 METODO ALTERATIVO USANDO DETERMINANTES…………………………………25
4 . BASE Y DIMENSION DEUN ESPACIO VECTORIAL…………………………………26
4.1 DEFINICION………………………………………………………………………………….26
4.2 BASE DE HAMEL Y HILBERT……………………………………………………………...26
4.3 DIMENSION VVECTORIAL…………………………………………………………………28
5 ESPACIO CON PRODUCTOS INTERNOS Y SUS PROPIEDADES………………….29
6 CAMBIO DE BASE EN BASE ORTONORMAL…………………………………………..30



1. ESPACIO VECTORIAL
1.1 MOTIVACION Y DEFINICON
Objetivos
En estalectura se introduce el concepto de espacio vectorial. Este concepto generaliza los vectores n y las matrices m × n. El concepto es abstracto y por tanto tiene alguna dificultad natural; se le pide al estudiante un esfuerzo extra para pensar las cosas desde un punto de vista general.
Veamos un ejemplo para introducir el concepto de las ideas invariantes en la solución a un sistema de ecuacioneslineales.
Ejemplo 13.1
Considere el sistema homogéneo:




Si utilizamos el orden x → y → z → w → t la matriz aumentada reducida queda:



De donde la fórmula para las soluciones son:






Si utilizamos el orden x → y → w → z → t la matriz aumentada reducida queda:


De donde la fórmula para las soluciones son:

Si utilizamos el orden x → y → t → z → w la matriz aumentada reducidaqueda:

De donde la fórmula para las soluciones son:

De donde la fórmula para las soluciones son:




Todas las soluciones previas aparentan ser diferentes, sin embargo, todas representan el mismo conjunto solución. Necesitamos una teoría que nos de confianza en los resultados obtenidos; qué nos indique las cosas que permanecen y las cosas que pueden cambiar en las múltiples respuestasvalidas en “R“ que podemos obtener. Además de los conjuntos solución en “R”, existen otras ´áreas de la ingeniería que requieren un apoyo matemático: las matrices tienen su importancia y uso en ingeniería industrial y en control; las series trigonométricas en procesamiento de señales; los conjuntos de polinomios y las series de potencias para los IFIs, etc.

1.2 DEFINICION FORMAL.

Un espaciovectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores ya los elementos del cuerpo,escalares.

1.3 NOTAS Y DEFINICION ALTERATIVA
Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada multiplicación de un escalar por un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a...