Espacios 3D

Cálculo Vectorial
Maestro: José Roberto Bautista Atenógenes


Espacio 3D
En este capitulo introducimos vectores y coordenadas para espacio tridimensional. Veremos que los vectores proveen particularmente una simple descripción de líneas y planos en el espacio.
Sistema de coordenadas en 3D
Para localizar un punto en un plano, se necesitan 2 números. Sabemos que cualquier punto en el planopuede ser representado como un par ordenado (a,b) de números reales-donde “a” es la coordenada en “x” y “b” la coordenada en “y”. Por esto un plano es llamado bidimensional.
Para localizar un punto en el espacio, 3 números son requeridos. Representamos cualquier punto en el espacio por un orden triple (a,b,c) de números reales. En orden para representar puntos en el espacio, primero escogemos:*Un punto fijo O(el origen)
*Tres líneas dirigidas hacia O y que son perpendiculares cada una.
*Las tres líneas se les llaman ejes.
El eje “x” y el eje “y” son horizontales y el “z” es vertical.

La direccion del eje “z” es determinado por la regla de la mano derecha.

Gira los dedos de tu mano derecha alrededor del eje “z” en dirección de 90° en contra reloj, desde el lado positivo deleje “x” hacia el positivo del eje “y”. Luego tu pulgar apunta en dirección positiva del eje “z”.

Los 3 ejes de coordenadas determinan los 3 planos de coordenadas.

Estos 3 planos coordenados dividen el espacio en 8 partes, llamadas Octantes.
Si P es cualquier punto en el espacio decimos:
* ”a” es la distancia desde el plano “yz” a P
* “b” es la distancia desde el plano “xz” a P
* “c” es ladistancia desde el plano “xy” a P
Para localizar el punto P empezamos en el origen y procedemos como se debe :
-Primero movemos “a” unidades a lo largo del eje “x”.
-Luego movemos “b” paralela al eje “y”.
-Finalmente movemos “c” paralela al eje “z”.

Producto Cartesiano
RxRxR={(x,y,z)|x,y,z ϵR}
es el conjunto de todos los triples ordenados de números reales y es denotado porR3. Nos han dado una correspondencia de uno a uno entre los puntos P en el espacio y el ordenado triple (a,b,c,)en R3. Es llamado sistema de coordenada rectangular tridimensional.
Describe y=x
La ecuación representa el conjunto de todos los puntos en R3 quienes las cordenadas de “x” y “y” son iguales : {(x,x,z) | xϵR,zϵR}. Esto es un plano que intersecta el plano “xy” en la línea y=x, z=0.Distancia entre 2 puntos en un plano:
P1(x,y,z) & P2 (x2,y2,z2)
P1P2=x2-x2+(y2-y)2+(z2-z)2

Por definición una esfera es el conjunto de todos los puntos P(x,y,z) quienes su distancia desde C es r.
Para ello P esta en la esfera si y solo si |PC|=r. Elevando al cuadrado ambos lados tenemos : |PC|2=r2 ó
→(x-h)2+(y-k)2+(z-l)2=r2
↑
ecuacion de la esfera con centro C(h,k,l) radio r
Si elcentro es el origen la ecuacion es: x2+y2+z2=r2

Vectores
El termino vector es usado por científicos para indicar cantidad (tales como desplazamiento o velocidad o fuerza) que tiene magnitud y dirección.
Normalmente es representado por una flecha o un segmento de línea dirigido. La longitud de la flecha representa la magnitud del vector. La flecha apunta en dirección del vector. Se denota (V)o (v).
El vector 0 denotado por el 0 tiene longitud 0 y es el único vector con dirección no especifica.

Supongamos una partícula se mueve de A a B, entonces su vector de desplazamiento es AB. Luego la particula cambia de direccion y se mueve de B a C con el vector de desplazamiento BC. El efecto combinado de estos desplazamientos es que la praticula se ha movido de A a C.
El vectorresultante de desplazamiento AC es llamado la suma de AC=BC+AB.
Si u & v son vectores posisionados y el punto inicial de v esta en el punto terminal de u, luego la suma de u+v es el vector de el punto inicial u al punto terminal de v.

Completando el paralelogramo vemos que u+v=v+u esto es la ley del paralelogramo

¿¿Es posible multiplicar un vector por un numero real C??
En este contexto...