espacios vectoriales ejercicios

PROBLEMAS RESUELTOS del espacio vectorial curso 2001-2002
1.- Consideremos el conjunto R2 formado por todas las parejas (x,y) de números reales.
Se define en R2 la operación interna(x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’) y una de las operaciones
externas siguientes:
a) λ(x,y)=(λx,0)
b) λ(x,y)=(λx,λy)
c) λ(x,y)=(λ+λx-1,λ+λy-1)
d) λ(x,y)=(λy,λy)
para λ ∈ R .Decir, para cada uno de los cuatro casos, si seobtiene o no una estructura
de espacio vectorial en R2.
Solución:
Previamente comprobemos que R2 con la suma tiene estructura de grupo abeliano:
[A1] Asociativa: a + b + c = a + b + c ∀a , b, c ∈ R2 .

(

)

(

)

Sean a = ( x, y), b = ( x', y'), c = ( x'', y'') ∈ R 2 entonces:

(a + b) + c = ((x, y) + (x' , y' )) + (x' ' , y' ' ) = (x + x', y + y' ) + (x' ' , y' ' ) = ((x + x') +x' ' , (y + y' ) + y' ')
a + ( b + c) = (x, y) + ((x' , y') + (x'' , y' ' )) = (x, y) + (x' +x'', y' +y'') = ( x + (x' +x'' ), y + (y' +y'') ) .
Por ser R un cuerpo se cumple la asociativa y se tieneque
a + b + c = ( x + x' +x'', y + y' +y'') = a + b + c y se verifica la propiedad asociativa

( )
( a + b) + c = a + ( b + c )

(

)

[A2] Existencia de elemento neutro: Existe un elementoque designaremos
0 = (0,0) ∈ R 2 que verifica que a + 0 = 0 + a = a para cualquier a ∈ R 2 .
En
efecto:
a + 0 = ( x, y) + (0,0) = ( x + 0, y + 0) = ( x, y) = a
y
por
otra
parte 0 + a = (0,0)+ ( x, y) = (0 + x,0 + y) = ( x, y) = a luego a + 0 = 0 + a = a y 0 = (0,0) es el
vector nulo.
[A3] Existencia de elemento simétrico: Para cualquier a ∈ R 2 existe un único
elemento de R2, quedesignaremos por - a tal que a + ( − a ) = ( − a ) + a = 0 .
El elemento − a = ( − x,− y) es el elemento opuesto del vector a = ( x, y) ∈ R 2 ya que
a + ( − a ) = ( x, y) + ( − x,− y) = ( x − x, y − y)= (0,0) = 0
y
que
( − a ) + a = ( − x,− y) + ( x, y) = ( − x + x,− y + y) = (0,0) = 0
y
se
cumple
a + ( −a) = ( −a) + a = 0 .

Sean

[A4] Conmutativa: a + b = b + a ∀a , b ∈ R 2
a =...