Espacios Vectoriales Facilitos

TEMA 1: ESPACIOS VECTORIALES.

1) Definición:
Un espacio vectorial (E.V) V es un conjunto no vacío conformado por vectores y definido por las operaciones de suma y producto donde se cumplen los siguientes axiomas:
A) ∀ u,v∈V⇒u+v=V

B) ∀ u,v,w∈V⇒u+v+w= u+v+w=V

C) ∃ OV∈V ∀ u∈V⇒u+OV=OV+u

D) ∃ u∈V ∀u,∈V⇒u+u=OV

E) ∀ u,v∈V⇒u+v=v+u

F) ∀ a∈R ∀u∈V⇒a∙u=V

G) ∀a,b∈R ∀u∈V⇒a+b∙u=au+bu

H) ∀ a∈R ∀ u,v∈V⇒a∙u+v=au+av

I) ∀ a,b∈R ∀u∈V⇒a∙b∙u=au∙bu

J) .1∈R ∀u∈V⇒1∙u=u

* Tipos de Espacios vectoriales:

* MATRICIALES:
Mn filas,m (columnas)(R)=a⋯m⋯b⋯n⋯c a,⋯,m,n∈R

* POLINÓMICOS:
Pnx=a0+a1x+⋯+anxna0,a1,⋯,an∈R

* RACIONALES (contraejemplo)
Qn=q1,⋯,qn∈Qn R=Q∪I

Cuando se multiplica un número irracional por otro racionalobtenemos otro número irracional, y por tanto, el axioma 6 no se cumple y no será un E.V.

* Propiedades de los Espacios vectoriales:
I) ∀ v∈V⇒v=v

II) ∀ u,v∈V⇒u+v=u+v

III) Si u+v=w+v⇒u=w

IV) ∀ a∈V⇒a∙0=OV

V) ∀ v∈V⇒0∙v=OV

VI) ∀ a∈V ∀v⇒-a∙v=av=av

VII) Si av=bv v≠OV⇒a=b

VIII) Si au=av a≠0⇒u=v
2) Subespacios vectoriales:
DEFINICIÓN:
Sea V un E.V,existe en el un subespacio vectorial (S.V.) perteneciente a V y distinto de ∅ con las mismas leyes y estructura del E.V. (cumpliendo las axiomas de V)

Todo E.V. tiene al menos 2 S.V. llamados impropios OV+ ∙ V+ ∙

Para demostrar que S es un S.V., este debe cumplir los 10 axiomas del E.V. Sin embargo, existe un atajo conocido con el nombre de Caracterización de Subespacios.
I) S es un S.V.de V (=)a ∀ u,v∈S⇒u+v∈Sb ∀a∈R / ∀ u∈S⇒au∈S

II) S es un S.V de V = ∀ a,b∈ R / ∀ u,v∈S⇒au+bv∈S

Operaciones con S.V:

* Intersección de Subespacios S1∩S2=v∈V / v∈S1 y v∈S2 S.V. de V

* Unión de Subespacios S1∪S2=v∈V / v∈S1 o v∈S2

* Suma de Subespacios S1+S2=v∈V / v=v1+v2 v1∈S1 y v2∈S2

S.V. de V y el minimo Subespacio que puede contener aS1∪S2

Proposiciones:

⟹ S1 y S2 son independientes<=> S1∩S2=OV

⟹S1 y S2 son ComplementariosSuplementariosSuma Directa<=> S1∩S2=OVS1+S2=V

⟹ Cualquier vector perteneciente a la suma de S.V. independientes tiene descomposición única como: v=v1+v2 v1∈S1 y v2∈S2

3) Sistemas libres:
Sea S un sistema de vectores v1,⋯,vN:

1) S es un sistema libre<=>Losvectores de S son linealmente independientes
OV=α1v1,⋯,αNvN ⟹ α1=αN=0

2) S es un sistema ligado<=>Los vectores de S son linealmente dependientes
OV=α1v1,⋯,αNvN ⟹ ∃ αN≠0

Propiedades:
I) S=v v=OV LIBRE

II) S=v1,⋯,OV,⋯,vN LIGADO

III) S1 S.V. chico=v1,⋯,vN S2 (S.V. grande)=v1,⋯,vN,⋯,vR
S2 LIBRE ⟹S1 LIBRE S2 LIGADO ⟹S1 LIGADO

4)Sistemas generadores:
Cuando un sistema de vectores genera el E.V. V, se le llama sistema generador completo.
Si un sistema generador es libre, cualquier vector del S.V. generado por él se escribe de manera única como combinación lineal de los elementos del sistema generado.
5) Sistemas equivalentes:
Son aquellos que generan el mismo S.V.:
S =v1,⋯,vN SI=v1,⋯,vM, LS=LSIS=v1,⋯,vN Sistema Generador del S.V. L ∃ SI(Libre)∈ S / LSI=LS

El sistema libre siempre tendrá los mismos o un vector menos que el otro sistema.

6) Base:
Una base ℬ de un E.V. (V) o un S.V. (S) es un conjunto de vectores perteneciente a V cuyos vectores son linealmente independientes entre si y que es, además, es un sistema generador de V y S. B e1,⋯,eN

7) Dimensión:
LaDimensión de un E.V. y/o S.V. es el número de vectores de una o cualquiera de sus bases. (Dim V ≥ Dim S)

Todas las bases de V o S tienen el mismo número de elementos (Dim V=0 V= {OV})

Propiedades de la dimensión:
1) La dimensión de un subespacio coincide con el número de parámetros libres en su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2 parámetros= plano...)

2) El rango de...