espacios vectoriales

GUÍA DE ESTUDIO
ÁLGEBRA LINEAL

Tema 2. Espacios Vectoriales
1
= 0.333....
3

1) LOS NÚMEROS
El sistema de números reales consiste en un
conjunto R de elementos llamados números
reales y dos operaciones denominadas: adición
y multiplicación, que se denotan con los
símbolos + y ⋅ , respectivamente. Si a y b son
elementos del conjunto R, entonces a+b denota
la suma de a y b; tambiéna⋅b (ó ab) indica su
producto. La operación de sustracción se define
mediante: a + (− b ) = a − b , donde –b representa
el negativo de b tal que, b + (− b ) = 0 . La
operación de división se define con la ecuación:
a ÷ b = a ⋅ b −1 ; b ≠ 0 , donde b-1 representa el
recíproco de b, tal que b ⋅ b −1 = 1 . Un número
real puede ser negativo, positivo o cero.
Cualquier número real se puedeclasificar como
racional o irracional.
Un número racional Q es cualquier número que
se puede expresar como la razón de dos enteros.
Es decir, un número racional es un número de la
forma p/q donde p y q son enteros y q ≠ 0. Los
números racionales comprenden a los siguientes:
•

•
•

•

•

Los enteros Z: son números racionales
con denominador igual a 1 (p/q = p/1 =
p), pueden serpositivos, negativos y
cero:
. . .,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Los naturales N: son números enteros
(todos positivos):
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .
Fracciones positivas y negativas, tales
como:
2 4 83
. . ., ,− , , . . .
7 5 5
Los decimales conmensurables positivos
y negativos, tales como:
3251
236
= 2.36 , −
= −0.003251
100
1000000
Los
decimales
inconmensurablesperiódicos positivos y negativos, tales
como:

DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

−

61
= −0.549549549....
111

Los números irracionales son decimales
inconmensurables y no periódicos, tales como:
3 = 1.732....

π = 3.14159....

Los números complejos C se expresan
generalmente en la forma a +bi, donde a y b son
números reales, i es la llamada unidadimaginaria, que se caracteriza por tener la
propiedad de que i2=-1.
2) ESPACIO VECTORIAL
Espacio vectorial es un conjunto constituido por
un número infinito de vectores, para los cuales
se han definido las operaciones de adición y
multiplicación por un escalar, y además están
definidos sobre un determinado campo k.
Esquemáticamente puede representarse como:

El campo k puede referirse a algunode los
siguientes números:
• Complejos
• Reales
• Racionales
• Irracionales
• Enteros
• Naturales
Los vectores v 1 , v 2 ,..., v n pueden tener distintas
formas, por ejemplo:
R2: v = ( x, y ) → vector en dos dimensiones.

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COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

Profra. Dra. Norma Patricia López Acosta

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ÁLGEBRA LINEAL

Tema 2. Espacios Vectoriales
R3: v = ( x, y, z) → vector en tres dimensiones.
a b 
M2: v = 
 → matriz cuadrada de 2×2.
c d 

8. Propiedad distributiva de la multiplicación
para la suma de escalares:
(α + β)u = αu + βu
9. Propiedad asociativa de la multiplicación:
α βu = (αβ )u
10. Existencia de unicidad:
1⋅ u = u

( )

P: v = ax 2 + bx + c → polinomio de grado
menor o igual a dos.
F: v = f ( x ) → función de cualquierforma.
OBSERVACIONES:
• Las
operaciones
de
adición
y
multiplicación por un escalar para estos
conjuntos generalmente no son las
usuales.
• Al resolver un problema, en cada axioma
se debe escribir si se cumple o no se
cumple; y al final del problema, si el
conjunto es o no un espacio vectorial.

3) SUBESPACIOS VECTORIALES
Sea el espacio vectorial V:

Para que un determinadoconjunto sea un
espacio vectorial, debe satisfacer los siguientes
10 axiomas:
Para que un subconjunto A sea un subespacio
vectorial de V, deben cumplirse las siguientes
dos condiciones:

Sean V un determinado conjunto; y u , v, w
vectores que ∈ V.
1. Cerradura para la suma:
u + v ∈V
2. Propiedad conmutativa de la suma:
u +v = v+u
3. Propiedad asociativa de la suma:
u+ v+w = u+v +w
4....