Espacios Vectoriales

Notas de Espacios Vectoriales
Jos´ Luis Mancilla Aguilar e Depto. de Matem´tica, Fac. de Ingenier´ Univ. de Buenos Aires a ıa, jmancil@fi.uba.ar

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Prop´sito o

El objeto de estas notas es repasar las principales definiciones y resultados de la teor´ de espacios ıa vectoriales, que se presupone el alumno ha aprendido en cursos previos de algebra. La mayor ´ parte de los resultados sepresentan sin demostraci´n, ya que ´stas se encuentran en la mayor´ o e ıa de los libros de texto de algebra lineal, entre ellos los mencionados en la bibliograf´ que se ´ ıa encuentra al final de estas notas, bibliograf´ que, por otra parte, el lector no debe dejar de ıa consultar. Sin embargo, se ha tratado de ilustrar y motivar esos resultados a partir de distintos ejemplos. Deseo agradecer a PabloServidia por la elaboraci´n de los gr´ficos y a Ada Cammilleri y o a Rafael Garc´ por sus comentarios y sugerencias. ıa

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Espacios vectoriales

Comencemos recordando la definici´n de espacio vectorial. o Definici´n de espacio vectorial. o Un espacio vectorial es un conjunto no vac´ V en el que est´n definidas una ley de compoıo a sici´n interna denominada suma, que a cada par de elementos u, vde V asocia un elemento w o de V denotado w = u + v, y una ley de composici´n externa denominada producto por escalares, o | ´ C ) y a cada elemento u de V asigna un elemento v = αu, que a cada n´mero α ∈ K (K = R o | u que verifican las siguientes condiciones: 1. conmutatividad: u + v = v + u, ∀u, v ∈ V ; 2. asociatividad: u + (v + w) = (u + v) + w, ∀u, v, w ∈ V ; 3. existe elemento neutro, 0V ∈ V, tal que u + 0V = u, ∀u ∈ V ; 4. para cada u ∈ V existe un opuesto, denotado −u, tal que u + (−u) = 0V ; 5. distributividad respecto de los escalares: (α + β)u = αu + βu, ∀α, β ∈ K y ∀u ∈ V ; 6. distributividad respecto de los vectores: α(u + v) = αu + αv, ∀α ∈ K y u, v ∈ V ; 7. asociatividad respecto de los escalares: α(βu) = (αβ)u, ∀α, β ∈ V y ∀u ∈ V ; 8. 1u = u, ∀u ∈ V .

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A loselementos del espacio vectorial V se los suele denominar vectores, mientras que a los n´meros por los cuales se multiplican esos vectores se los denomina escalares. u Cuando el conjunto de escalares es el conjunto de n´meros reales, es decir, K = | , se dice u R | que V es un espacio vectorial real, mientras que si K = C se dice que V es un espacio vectorial complejo. En lo sucesivo trabajaremos tantocon espacios vectoriales reales como complejos, y, a menudo, emplearemos la terminolog´ V es un | -espacio vectorial o V es un espacio vectorial sobre ıa R los reales para indicar que V es un espacio vectorial real; similarmente diremos que V es un | C-espacio vectorial o un espacio vectorial sobre los complejos para indicar que V es un espacio vectorial complejo. Cuando no se requiera algunapropiedad especial del conjunto de escalares, diremos simplemente que V es un espacio vectorial. De aqu´ en adelante, en general designaı remos a los vectores con letras latinas min´sculas, u, v, . . ., a los escalares con letras griegas u min´sculas, α, β, . . ., y, cuando no haya peligro de confusi´n, al vector nulo de V por 0 en lugar u o de 0V . Propiedades elementales. A partir de los axiomas deespacio vectorial se deducen las siguientes propiedades b´sicas: a 1. el elemento neutro 0 ∈ V es unico; tambi´n es unico el opuesto de un elemento u; ´ e ´ 2. 0u = 0 ∀u ∈ V y α0 = 0 para todo escalar α; 3. si αu = 0 entonces α = 0 o u = 0; ´ 4. si u = 0, αu = βu ⇒ α = β; si α = 0, αu = αv ⇒ u = v; 5. (−1)u = −u ∀u ∈ V . A continuaci´n presentamos a modo de ejemplo algunos de los espaciosvectoriales reales o o complejos que aparecen con mayor frecuencia en las aplicaciones. Ejemplo 1 1. Un ejemplo importante de espacio vectorial real es | n , el conjunto de n-uplas (x1 , . . . , xn ), R | , con la suma definida por xi ∈ R (x1 , . . . , xn ) + (x1 , . . . , xn ) = (x1 + x1 , . . . , xn + xn ) y el producto por escalares reales α(x1 , . . . , xn ) = (αx1 , . . . , αxn ). (2) (1)

En este...