Espacios vectoriales

Funciones vectoriales de variable real
Sean f1, f2 y f3 tres funciones reales de una variable real t. Entonces, para todo número t en el dominio común a f1, f2 y f3, existe un vector R definido por:R(t) =  f1(t) i + f2(t) j + f3(t) k 
y R se denomina función vectorial.
 
La gráfica de una función vectorial en el espacio tridimensional, se obtiene asignándole valores a t. Cuando t toma todoslos valores en el dominio de R, el punto final de la representación posicional del vector R(t) describe una curva C, la cual se denomina gráfica de la función vectorial.
Un punto de la curva C tienela representación cartesiana (x, y, z) donde:
x = f1(t)
y = f1(t)
z = f1(t)
 
Las ecuaciones anteriores se llaman ecuaciones paramétricas de C. Eliminando t en las ecuaciones paramétricasobtenemos dos ecuaciones en x, y, z. Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones cartesianas de C. Cada ecuación cartesiana es una ecuación de una superficie y la curva C es la intersección de ambassuperficies. Las ecuaciones de cualesquiera dos superficies que contienen a C puede tomarse como las ecuaciones cartesianas que definen a C. 
R(t) = a.cos(t)i + b.sen(t)j + tk
Las ecuacionesparamétricas de la curva dada son:
x = a.cos(t)
y = bsen(t)
z = t ……
Longitud de Arco
 
¿Cuál es la longitud de una trayectoria c(t)?
Puesto que la rapidez 2 c´(t) 2 mide la razón de cambio de ladistancia recorrida con respecto del tiempo, la distancia recorrida por un punto que se mueve sobre la curva debe ser igual a la integral de la rapidez con respecto al tiempo sobre el intervalo [ t0 , t1 ]que dura el trayecto; es decir, la longitud de la trayectoria, también llamada longitud de arco
 
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Por ejemplo, supongamos que tomamos una curva en el plano o en el espacio y pegamos sobreella ajustadamente una cinta, contando el sobrante de manera que la cinta se superponga exactamente sobre la curva. Si después despegamos la cinta, la enderezamos y la medimos con una regla, es...