Espacios Vectoriales

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ATENCION: ESTAS NOTAS TAN SOLO CONSTITUYEN UN APOYO PARA EL ES´
TUDIO DE LOS TEMAS CORRESPONDIENTES. EN NINGUN CASO SUPONEN UNA
´ DE UN TEXTO DE LA BIBLIOGRAF´ O A LOS
ALTERNATIVA A LA UTILIZACION
IA
CONTENIDOS IMPARTIDOS EN CLASE PRESENCIAL.

TEMA 2: ESPACIOS VECTORIALES
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2.1.- INTRODUCCION.
2.2.- DEFINICIONES GENERALES.
2.3.- SUBESPACIOS VECTORIALES.
2.4.- DEPENDENCIA EINDEPENDENCIA LINEAL.
2.5.- SISTEMA DE GENERADORES.
´
2.6.- BASES. DIMENSION.
2.7.- RANGO DE UN SISTEMA DE VECTORES.

2.1.- Introducci´n
o
El origen de la terminolog´ de los espacios vectoriales es f´
ıa
ısico y geom´trico, si bien
e
posteriormente ha sido aplicada a casos m´s generales y abstractos.
a
En efecto, dados dos puntos A y B en el plano o el espacio tridimensional, siconsideramos
el segmento que los une y decimos que su origen es A y su extremo es B, podemos definir
el vector geom´trico v = AB. Al especificar qu´ punto es el de origen y cu´l el extremo
e
e
a
estamos determinando el sentido del vector (que es, por tanto, un segmento orientado). A la
longitud del segmento se le llama m´dulo del vector y se denota v ≥ 0. Diremos que dos
o
vectores tienen la mismadirecci´n si est´n situados sobre rectas paralelas.
o
a
Se dice que dos vectores son equipolentes si coinciden en m´dulo, direcci´n y sentido. Se
o
o
puede comprobar que la equipolencia define una relaci´n de equivalencia (ver Tema 0) en el
o
conjunto de vectores del plano o el espacio tridimensional.
Si fijamos en el plano o el espacio tridimensional un sistema de coordenadas (ver Tema
6),se comprueba f´cilmente que dado cualquier vector, existe otro vector equipolente a ´l
a
e
1

con origen en el origen de coordenadas. Se puede considerar entonces a los vectores como
vectores libres, identificando a cada conjunto de vectores equipolentes entre s´ (clase de
ı
equivalencia) con un unico representante, el que tiene por origen el origen de coordenadas. A
´
continuaci´n seenumeran algunas propiedades de los vectores libres, de f´cil demostraci´n.
o
a
o
Sea V el conjunto de vectores libres (bien sea en el plano o en el espacio tridimensional),
den´tese por 0 el vector que tiene origen y extremo en el origen de coordenadas, por −u el
o
vector que tiene la misma direcci´n y m´dulo que u pero distinto sentido, y den´tese por
o
o
o
“ + ” la suma geom´trica devectores.
e

Entonces se cumple:
1. operaci´n interna: u + v ∈ V ∀u, v ∈ V ,
o
2. elemento neutro: u + 0 = u ∀u ∈ V ,
3. elemento sim´trico: u + (−u) = 0 ∀ u ∈ V ,
e
4. asociativa: (u + v) + w = u + (v + w) ∀ u, v, w ∈ V ,
5. conmutativa: u + v = v + u ∀ u, v ∈ V .

Por lo tanto, (V, +) tiene estructura de grupo conmutativo. Adem´s, dados α ∈ R y v ∈ V
a
arbitrarios, se define α·v ∈ V, o simplemente αv, como el vector que tiene la misma direcci´n
o
que v, un m´dulo |α| v ≥ 0 y el mismo sentido que v si α > 0, y el sentido opuesto si α < 0.
o

Entonces se cumple:
i) operaci´n externa: α · u = αu ∈ V ∀ u ∈ V, ∀α ∈ R,
o
2

ii) distributiva vectores: α(u + v) = αu + αv ∀ u, v ∈ V ∀ α ∈ R,
iii) distributiva escalares: (α + β)u = αu + βu ∀ u ∈ V ∀ α, β ∈ R,
iv)asociativa escalares: (αβ)u = α(βu) ∀ u ∈ V ∀ α, β ∈ R,
v) unidad: 1u = u ∀ u ∈ V .

Nota 1. Si bien la notaci´n es indistinguible, hay que tener en cuenta que en la expresi´n
o
o
(αβ)u = α(βu) intervienen dos productos distintos. As´ mientras que en αβ el producto es el
ı,
habitual de los n´meros reales, en βu el producto es una operaci´n externa, entre un n´mero
u
o
u
real y un vector,dando como resultado otro vector.
En estas condiciones, se dice que (V, +, ·) tiene estructura de espacio vectorial (real). En
las siguientes secciones vamos a ampliar y generalizar estos conceptos.

2.2- Definiciones generales
Definici´n 2. Sea (K, +, ·) un cuerpo conmutativo y V un conjunto no vac´ Se dice
o
ıo.
que V tiene estructura de espacio vectorial sobre K, (o que es un K-espacio...