Espacios Vectoriales

Ing. José Luis Unamuno & Asoc.

Tel.: 4255-5424

CBC EXACTAS – INGENIERÍA
PRÁCTICA 4
ESPACIOS VECTORIALES
(EN ESTE APUNTE TRANSCRIBIREMOS LA INTRODUCCIÓN TEÓRICA Y LOS TEXTOS DE LOS EJERCICIOS TOMADOS DEL
APUNTE EDITADO POR LA “FUNDACIÓN ENSEÑAR CIENCIA” A LOS EFECTOS DE ACLARAR LAS DEFINICIONES
QUE VAMOS A UTILIZAR Y ESTABLECER LA MISMA NOTACIÓN SIMBÓLICA, LOS APUNTES MENCIONADOS LOSPODÉS
ADQUIRIR EN UBASUR, EVA PERÓN 1265 FRENTE A LA UBA, ¿EN AVELLANEDA?)
Presentación: aquí vamos a ver sin dibujos ni cosas por el estilo, y con en enfoque lo más estricto posible
el tema Espacios Vectoriales. Este es un tema que se presta a mucha confusión pues hay muchas
formas de decir lo mismo y cuando nos escapamos de las tres dimensiones no tenemos manera de
representar e incluso deimaginarnos la representación de los Espacios. No hay que tenerle miedo.
Recordemos que esto es Álgebra, y el Álgebra se basa en definiciones, son puras definiciones y
construcciones que no necesariamente representan elementos reales, en muchos casos son puras
abstracciones. Si te suena muy raro lo que se dice aquí, te conviene leer:
Ecuación del Plano, todas sus formas y
Vectores en 3DHistoria íntima de la Ecuación de la Recta.

Triangulando soy feliz.

Estos los podés descargar de www.unamuno.com.ar en la sección Clases de Apoyo>Álgebra
Aquí comienza la transcripción del material citado, mis agregados y comentarios suelen ir precedidos por
una carita ☺, , y en letra cursiva

ESPACIOS VECTORIALES - SUBESPACIOS
Definiciones y Propiedades
ESPACIOS VECTORIALES
Un espaciovectorial real V, o espacio vectorial sobre R, es un conjunto de elementos llamados vectores,
junto con dos operaciones: suma y producto por un escalar, que satisfacen las siguientes propiedades:
Si u V y v V, entonces la suma u+v V.

EV 1. -

☺ Es decir la “suma” es “ley de
Composición Interna” en V

EV 2. -

Si k R y u V, entonces el producto k.u V.

EV 3. -

Si u, v, w

EV 4. -Existe un elemento en V, notado 0, tal que 0+u=u+0=u para ☺ Es decir que existe un
elemento neutro respecto a la
todo u V (∀ u V)
suma, el vector Nulo 0

EV 5. -

Para cada elemento u
u+u=0

EV 6. -

Si u y v

V, entonces u+v=v+u

☺

EV 7. -

Si u y v

Vyc

R, entonces c.(u+v) = c.u+c.v

☺

EV 8. -

Si a y b

Ryv

V, entonces (a+b).v=a.v+b.v

EV 9. -

Si a y bRyv

V, entonces (a.b).v=a.(b.v)

EV 10. -

Si u

V, entonces la suma (u+v)+w = u+(v+w)

V existe –u

V, entonces 1.u=u (1

☺ Es decir; la suma es Asociativa

V tal que u+(-u)=- ☺ Esto es la existencia del
Inverso.
esta
es
Conmutativa

la

propiedad

Esta
es
la
propiedad
distributiva del producto respecto
de la suma

R)

☺ Un espacio vectorial puede estarformado por otras cosas a parte de vectores
convencionales hay espacios vectoriales de funciones, polinomios, matrices y pendorchos),
por Ejemplo los cuatro elementos (A; ◊; B; ) donde A y B son conjuntos y ◊ y
son
operaciones que se definen entre los elementos de esos conjuntos, si cumplen las 10
condiciones enumeradas anteriormente (y eso dependerá de cómo esta definido A, B y las“operaciones” ◊ y ) entonces es un espacio vectorial. De ahora en más cuando hablamos
de suma es la suma convencional, el producto es el producto convencional, el producto entre
vectores es el producto escalar o punto o “interno”.

☺ Un muy buen libro para este tema es “Álgebra II” de Armando O. Rojo - Ed. Ateneo
Notación u-v=u+(-v)
Si V es un espacio vectorial real valen las siguientes propiedades:
a)0.v=0 para todo v

Pag. 1 de 25

V

d)

-(v+w)= -v-w para todo (∀) v

V

www.unamuno.com.ar
AlgebraCBC_Practica_4_EspaciosVectoriales18.doc

☺
∀ significa “para todo”

20/12/2005

Ing. José Luis Unamuno & Asoc.
b)

k.0=0 para todo k

R

c)

(-1).v=-v para todo v

Tel.: 4255-5424

e)

V

k.(v-w)=k.v-k.w ∀ v y w

V

f)

k.v=0 si y sólo si k=0 ó v=0...