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Espacios Vectoriales

Definici´n o Se dice que (V , +, ·) es un espacio vectorial sobre R o un R-espacio vectorial si y solo si cumple con:
1

(∀x, y , z ∈ V )((x + y ) + z = x + (y + z))

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Definici´n o Se dice que (V , +, ·) es un espacio vectorial sobre Ro un R-espacio vectorial si y solo si cumple con:
1 2

(∀x, y , z ∈ V )((x + y ) + z = x + (y + z)) (∀x, y ∈ V )(x + y = y + x)

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Espacios Vectoriales

Definici´n o Se dice que (V , +, ·) es un espacio vectorial sobre R o un R-espacio vectorial si y solo si cumple con:
1 2 3

(∀x, y , z ∈ V )((x + y ) + z = x + (y + z)) (∀x, y ∈ V )(x + y = y + x) (∀x ∈ V)(∃0 ∈ V )(x + 0 = x)

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Definici´n o Se dice que (V , +, ·) es un espacio vectorial sobre R o un R-espacio vectorial si y solo si cumple con:
1 2 3 4

(∀x, y , z ∈ V )((x + y ) + z = x + (y + z)) (∀x, y ∈ V )(x + y = y + x) (∀x ∈ V )(∃0 ∈ V )(x + 0 = x) (∀x ∈ V )(∃ − x ∈ V )(x + (−x) = 0)

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Definici´n o Se dice que (V , +, ·) es un espacio vectorial sobre R o un R-espacio vectorial si y solo si cumple con:
1 2 3 4 5

(∀x, y , z ∈ V )((x + y ) + z = x + (y + z)) (∀x, y ∈ V )(x + y = y + x) (∀x ∈ V )(∃0 ∈ V )(x + 0 = x) (∀x ∈ V )(∃ − x ∈ V )(x + (−x) = 0) (∀x, y ∈ V )(∀a ∈ R)(a · (x + y ) = a · x + a · y )

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Espacios VectorialesDefinici´n o Se dice que (V , +, ·) es un espacio vectorial sobre R o un R-espacio vectorial si y solo si cumple con:
1 2 3 4 5 6

(∀x, y , z ∈ V )((x + y ) + z = x + (y + z)) (∀x, y ∈ V )(x + y = y + x) (∀x ∈ V )(∃0 ∈ V )(x + 0 = x) (∀x ∈ V )(∃ − x ∈ V )(x + (−x) = 0) (∀x, y ∈ V )(∀a ∈ R)(a · (x + y ) = a · x + a · y ) (∀x ∈ V )(∀a, b ∈ R)((a + b) · x = a · x + b · x)

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Definici´n o Se dice que (V , +, ·) es un espacio vectorial sobre R o un R-espacio vectorial si y solo si cumple con:
1 2 3 4 5 6 7

(∀x, y , z ∈ V )((x + y ) + z = x + (y + z)) (∀x, y ∈ V )(x + y = y + x) (∀x ∈ V )(∃0 ∈ V )(x + 0 = x) (∀x ∈ V )(∃ − x ∈ V )(x + (−x) = 0) (∀x, y ∈ V )(∀a ∈ R)(a · (x + y ) = a · x + a · y ) (∀x ∈ V )(∀a, b ∈ R)((a + b) · x = a · x + b · x)(∀x ∈ V )(∀a, b ∈ R)((ab) · x = a · (b · x))

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Definici´n o Se dice que (V , +, ·) es un espacio vectorial sobre R o un R-espacio vectorial si y solo si cumple con:
1 2 3 4 5 6 7 8

(∀x, y , z ∈ V )((x + y ) + z = x + (y + z)) (∀x, y ∈ V )(x + y = y + x) (∀x ∈ V )(∃0 ∈ V )(x + 0 = x) (∀x ∈ V )(∃ − x ∈ V )(x + (−x) = 0) (∀x, y ∈ V )(∀a ∈ R)(a· (x + y ) = a · x + a · y ) (∀x ∈ V )(∀a, b ∈ R)((a + b) · x = a · x + b · x) (∀x ∈ V )(∀a, b ∈ R)((ab) · x = a · (b · x)) (∀x ∈ V )(∃1 ∈ R)(1 · x = x)

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Ejemplo Las matrices de orden m × n, esto es Mm×n (R) es un espacio vectorial sobre R con la suma de matrices y la multiplicaci´n por o escalar.

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Ejemplo Las matrices de orden m × n, esto es Mm×n (R) es un espacio vectorial sobre R con la suma de matrices y la multiplicaci´n por o escalar. Primero explicitemos la suma de matrices. + : Mm×n (R) × Mm×n (R) → Mm×n (R) (A, B) → A+B donde A + B = [aij ] + [bij ] = [aij + bij ].

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Espacios Vectoriales

Ejemplo Las matrices de orden m × n,esto es Mm×n (R) es un espacio vectorial sobre R con la suma de matrices y la multiplicaci´n por o escalar. Primero explicitemos la suma de matrices. + : Mm×n (R) × Mm×n (R) → Mm×n (R) (A, B) → A+B donde A + B = [aij ] + [bij ] = [aij + bij ]. Ahora explicitaremos la multiplicaci´n de una matriz con un o escalar. · : R × Mm×n (R) → Mm×n (R) (a, A) → a·A donde a · A = a · [aij ] = [a · aij ]...